Transformación conforme

En matemáticas, una transformación conforme es una función que preserva ángulos. En el caso más común la función es entre dominios del plano complejo.^[1][2]

Cartografía

Rejilla rectangular (parte superior) y su imagen bajo una transformación conforme f (abajo). Se ve la correspondencia de los pares de líneas que se cortan a 90 grados (arriba); con pares de curvas que se siguen cortando a 90° (abajo).

En cartografía, una función de proyección conforme es una función de proyección que preserva los ángulos en todos salvo un número finito de puntos. Los ejemplos incluyen la proyección de Mercator y la proyección estereográfica.^[1][2]

Análisis complejo

En el análisis complejo, una transformación conforme es una función ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {C} }$, diferenciable en ${\displaystyle z_{0}\in A\subset \mathbb {C} }$, que preserva el ángulo que dos curvas ${\displaystyle \alpha \colon [a,b]\rightarrow A}$ y ${\displaystyle \beta \colon [a,b]\rightarrow A}$, diferenciables en ${\displaystyle \alpha ^{-1}\,(z_{0})}$ y ${\displaystyle \beta ^{-1}\,(z_{0})}$, respectivamente, forman entre sí en ${\displaystyle z_{0}}$. Es decir f es conforme en ${\displaystyle z_{0}}$ cuando se verifica

${\displaystyle \arg \left[{\frac {(f\circ \alpha )'(z_{0})}{(f\circ \beta )'(z_{0})}}\right]=\arg \left[{\frac {\alpha '(z_{0})}{\beta '(z_{0})}}\right]}$,

siempre y cuando ${\displaystyle \alpha \,'(z_{0})}$ y ${\displaystyle \beta \,'(z_{0})\,}$ sean vectores tangentes no nulos.

Una definición equivalente es que una función es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de representación conforme de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.^[3]

Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y solo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.

Véase también

• Función matemática