Módulo dinámico (viscoelasticidad)

En viscoelasticidad, el módulo dinámico o módulo complejo ^[1]) es una función que define la relación entre la tensión y la deformación en condiciones vibratorias u oscilatorias. Usualmente, se calcula a partir de los datos obtenidos en ensayos de vibración libre o forzada, en cizalladura, compresión o alargamiento. Es una propiedad de los materiales viscoelásticos lineales.

Retardo de fase de la tensión frente a la deformación viscoelásticas

La viscoelasticidad lineal emplea un tipo de análisis dinámico para analizar el efecto de una fuerza oscilante, que porduce tensiones en un material, y se mide el desplazamiento resultante, de donde se deduce igualmente la deformación.^[2]

• En los materiales puramente elástica la tensión y la deformación se producen en fase, de modo que la respuesta de una se produce simultáneamente con la otra.

• En los materiales puramente viscosos, existe una diferencia de fase entre la tensión y la deformación, en la que la deformación se retrasa con respecto a la tensión en un desfase de 90 grados (${\displaystyle \pi /2}$).
• Los materiales viscoelásticos tienen un comportamiento intermedio entre los materiales puramente viscosos y los puramente elásticos, y presentan cierto desfase en la deformación.^[3]

La tensión y la deformación en un material viscoelástico sometido a una solicitación cíclica pueden representarse mediante las siguientes expresiones:

• Deformación: ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\sin(\omega t)}$
• Esfuerzo: ${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\sin(\omega t+\delta )\,}$ ^[3]

donde

${\displaystyle \omega =2\pi f}$ donde ${\displaystyle f}$ es la frecuencia de oscilación de la deformación,

${\displaystyle t}$ es el tiempo,

${\displaystyle \delta }$ es el desfase entre la tensión y la deformación.

El módulo de relajación de tensiones ${\displaystyle G\left(t\right)}$ es la relación de la tensión restante en el tiempo ${\displaystyle t}$ después de que se haya aplicado una tensión escalonada ${\displaystyle \varepsilon }$ en el tiempo ${\displaystyle t=0}$:

${\displaystyle G\left(t\right)={\frac {\sigma \left(t\right)}{\varepsilon _{0}}}}$

que es una generalización dependiente del tiempo de la ley de Hooke para el comportamiento elástico. Para los sólidos viscoelásticos, ${\displaystyle G\left(t\right)}$ converge al módulo de corte de equilibrio^[4]${\displaystyle G}$:

${\displaystyle G=\lim _{t\to \infty }G(t)}$

La transformada de Fourier del módulo de relajación en cizalladura ${\displaystyle G(t)}$ es ${\displaystyle {\hat {G}}(\omega )={\hat {G}}'(\omega )+i{\hat {G}}''(\omega )}$.

Módulos de almacenaje y de pérdida

Los módulos de almacenaje y de pérdida en materiales viscoelásticos miden la energía almacenada, que representa la parte elástica, y la energía disipada en forma de calor, que representa la parte viscosa.^[3] Los módulos de almacenaje y de pérdida en tracción se definen como sigue:

• Almacenaje: ${\displaystyle E'={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\cos \delta }$
• Pérdida: ${\displaystyle E''={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}\sin \delta }$ ^[3]

De forma similar, también se definen los módulos de almacenaje y pérdida por cizallamiento, ${\displaystyle G'}$ y ${\displaystyle G''}$.

Se pueden utilizar variables complejas para expresar matemáticamente los módulos anteriores, en particular se definen los módulos complejos ${\displaystyle E^{*}}$ y ${\displaystyle G^{*}}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle E^{*}=E'+iE''}$

${\displaystyle G^{*}=G'+iG''}$ ^[3]

donde ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ es la unidad imaginaria.

Cociente entre el módulo de pérdida y el de almacenaje

El cociente entre el módulo de pérdida y el módulo de almacenaje en un material viscoelástico se define como ${\displaystyle \tan \delta }$ y proporciona una medida del amortiguamiento en el material. ${\displaystyle \tan \delta }$ también puede visualizarse como la tangente del ángulo de fase (${\displaystyle \delta }$) entre el módulo de almacenaje y el módulo de pérdida.

Tracción: ${\displaystyle \tan \delta ={\frac {E''}{E'}}}$

Cizalladura: ${\displaystyle \tan \delta ={\frac {G''}{G'}}}$

Para un material con un ${\displaystyle \tan \delta }$ mayor que 1, prevalece la componente viscosa de disipación de energía del módulo complejo.

Véase también

• Análisis dinámico
• Módulo elástico
• Ecuación de Palierne