Matriz compañera

En álgebra lineal, la matriz compañera del polinomio mónico

${\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,}$

es la matriz cuadrada definida como

${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz junto con una base (v₁, ... , v_n), transforma el polinomio p(t) en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas de la forma:

${\displaystyle t^{n}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=t^{n-1}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&\cdots &0&-c_{1}\\0&1&\cdots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\v_{n}p(t)\end{pmatrix}}}$

Con este convenio, y sobre la base (v₁, ... , v_n), uno tiene

${\displaystyle Cv_{i}=C^{i}v_{1}=v_{i+1}}$

(Para i < n), y v₁ generar V como K[C]-módulo: C ciclos de vectores de la base.

Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineales.

Caracterización

El polinomio característico así como el polinomio mínimo de C(p) son iguales a p.^[1]

En este sentido, la matriz C(p) es la "compañera" del polinomio p.

Si A es una matriz de n por n con entradas en algún cuerpo K, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

• A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico.
• El polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A, equivalentemente, el polinomio mínimo tiene grado n.
• Existe un vector cíclico v en ${\displaystyle V=K^{n}}$ para A, lo que significa que {v, Av, A²v,..., Aⁿ⁻¹v} es una base de V. De manera equivalente, si V es cíclico como una ${\displaystyle K[A]}$-module (y ${\displaystyle V=K[A]/(p(A))}$); se dice que A es regular.

No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera. Pero toda matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices de compañía. Además, estas matrices de compañía pueden ser elegidas de modo que sus polinomios se dividan entre sí; entonces, se determinan de forma única por A. Esta es la forma canónica relacional de A.

Diagonalización

Si p(t) tiene raíces distintas λ₁, ..., λ_n (los valores propios de C(p)), entonces C(p) es diagonalizable como sigue:

${\displaystyle VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a los Y's.

En este caso,^[2] trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p(t),

${\displaystyle \mathrm {Tr} C^{m}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{m}~.}$

En general, la matriz compañero puede ser no diagonalizable.

Secuencias lineales recursivas

Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico

${\displaystyle p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,}$

la matriz compañera

${\displaystyle C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

genera la secuencia, en el sentido de que

${\displaystyle C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}}.}$

incrementa la serie en 1.

El vector (1,t,t², ..., t^n-1) es un vector propio de esta matriz de valor propio t, cuando t es una raíz del polinomio característico p(t).

Para c₀ = −1, y para todo c_i=0, i.e., p(t) = tⁿ−1, esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester, o matriz circulante.

Véase también

• Endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton