Número primo primorial

En matemáticas, un primo primorial es un número primo de la forma p_n# ± 1, donde p_n# es el primorial de p_n (es decir, el producto de los primeros n números primos).^[1]

Los tests de primalidad permiten comprobar que

p_n# − 1 es primo para n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (sucesión A057704 en OEIS)

p_n# + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, ... (sucesión A014545 en OEIS)

El primer término de la segunda sucesión es 0 porque p₀# = 1 es el producto vacío, y por lo tanto p₀# + 1 = 2, que es primo. De manera similar, el primer término de la primera sucesión no es 1, porque p₁# = 2, y 2 − 1 = 1 no es primo.

Los primeros primos primoriales son

2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (sucesión A228486 en OEIS)

A octubre de 2021,^[2] el primo primorial más grande conocido (de la forma p_n# − 1) es 3267113# − 1 (n = 234725) y cuenta con 1418398 dígitos. Fue encontrado por el proyecto PrimeGrid.^[3][4]

A 2022, el primo primorial más grande conocido de la forma p_n# + 1 es 392113# + 1 (n = 33237) con 169966 dígitos, encontrado en 2001 por Daniel Heuer.

La prueba de Euclides de la infinitud de los números primos (que se malinterpreta comúnmente como una definición de los números primos primoriales), tiene la forma siguiente:^[5]

Supóngase que los primeros n primos consecutivos que incluyen al número 2 son los únicos primos que existen. Si p_n# + 1 o p_n# − 1 es un primo primorial, esto significa que hay números primos más grandes que el primo n (si tampoco es un número primo, esto también prueba la infinitud de números primos, pero menos directamente; cada uno de estos dos números tiene un resto de p − 1 o 1 cuando se divide por cualquiera de los primeros n primos y, por tanto, todos sus factores primos son mayores que p_n).

Véase también

• Primorial
• Número de Euclides
• Número primo factorial