Número primo supersingular (teoría algebraica de números)

En teoría de números algebraicos, un número primo supersingular^[1] para un curva elíptica dada es un número primo con cierta relación con esa curva. Si la curva E está definida sobre los números racionales, entonces un número primo p es supersingular para E si la reducción de E módulo p es una curva elíptica supersingular sobre el cuerpo residual F_p.

Noam Elkies demostró que toda curva elíptica sobre los números racionales tiene infinitos números primos supersingulares. Sin embargo, el conjunto de los primos supersingulares tiene densidad asintótica cero (si E no tiene multiplicación compleja).Lang y Trotter (1976) conjeturó que el número de primos supersingulares menores que un límite X está dentro de un múltiplo constante de ${\displaystyle {\frac {\sqrt {X}}{\ln X}}}$, utilizando heurísticas que involucran la distribución de valores propios del endomorfismo de Frobenius. A partir de 2019, esta conjetura está abierta.

De forma más general, si K es un cuerpo global cualquiera, es decir, un grado de extensión de un cuerpo de Q o de F_p(t), y A es una variedad abeliana definida sobre K, entonces un primo supersingular ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ para A es una posición finita de K tal que la reducción de A módulo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ es una variedad abeliana supersingular.