Operación interna

Una operación matemática, se dice que es una operación interna, en un conjunto A si para todos los valores de la operación el resultado pertenece a A.^[1][2][3][4]

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Árbol de clasificación

En el caso de un conjunto ${\displaystyle A\,}$ y una operación binaria ${\displaystyle \circledcirc }$ definida sobre él ${\displaystyle (A,\circledcirc )}$, tendremos que para dos elementos cualesquiera del conjunto A operados bajo ${\displaystyle \circledcirc }$, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc$ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}

El resultado siempre pertenece al mismo conjunto:

${\displaystyle \forall a,b\in A:\quad a\circledcirc b\in A}$

Ejemplo

Sea el conjunto de los números naturales: N y la operación suma: +, ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ podemos ver:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

Se cumple:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N}$ :\quad x+y\in \mathbb {N} } .

Para todo valor x e y que pertenecen a los números naturales, la suma x + y pertenece a los números naturales.

Por lo tanto ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ es una operación interna.

Si vemos el mismo conjunto de los números naturales y la operación resta: -, ${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$ tenemos que:

${\displaystyle \neg \forall x,y\in N:\quad x-y\in N}$.

No para todos los valores x e y que pertenecen a N, x - y pertenece a N, o lo que es lo mismo:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {N} ,\quad \exists y\in \mathbb {N}$ :\quad x-y\notin \mathbb {N} } .

Para todo valor x de N, existen valores y de N tal que x - y no pertenece a N, eso se da en todos los casos en los que y es mayor que x, por ejemplo, 3 - 5 no pertenece a N.

La operación resta de los números naturales no es una operación interna.

Véase también

• Conjunto
• Operación matemática
• Operación binaria

• Ley de composición
• Propiedades de las operaciones binarias
• Estructura algebraica