Paradoja de Burali-Forti

Se conoce como paradoja de Burali-Forti a la suposición, dentro de una teoría de conjuntos axiomática, de que la totalidad de los números ordinales forma un conjunto. Dicha suposición lleva a una contradicción en la teoría. Debe su nombre al matemático Cesare Burali-Forti, que la descubrió en 1897.^[1]

Cesare Burali-Forti

Enunciado

Hoy en día se interpreta dicha contradicción como el enunciado del siguiente teorema:

No existe el conjunto On que contiene todos los ordinales.

Es inmediato demostrarlo por reducción al absurdo.

Demostración

Supóngase que existe dicho conjunto On. Puesto que es un conjunto transitivo bien ordenado por la inclusión, es a su vez un ordinal. Por la definición de On, se tiene entonces On ∈ On, lo cual es imposible para un ordinal. Más aún, existiría entonces el ordinal siguiente On + 1, de manera que se tendría On ∈ On + 1. Puesto que On contiene a todos los ordinales, también contendría a On + 1 y por tanto se cumpliría On + 1 < On, con lo que se violaría entonces la ley de tricotomía de los números ordinales.

Este enunciado es paradójico si puede demostrarse que existe tal conjunto. Este era el caso antes de la introducción de sistemas axiomáticos como ZF o NBG, en los que esto no ocurre.