Pentacontágono

En geometría, un pentacontágono o pentecontágono o 50-gono es un polígono de cincuenta lados.^[1][2] La suma de los ángulos interiores de cualquier tetracontágono es 8640 grados.

Pentacontágono
Un pentacontágono regular
Características
Tipo	Polígono regular
Lados	50540), orden 2×50
Vértices	50
Símbolo de Schläfli	{50} t{25} (pentacontágono regular)
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Autodual
Área	${\displaystyle A={\frac {25}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{50}}}$ (lado ${\displaystyle t}$)
Ángulo interior	172.8°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico, equilateral, isotoxal
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Propiedades del pentacontágono regular

Un ángulo interior en un pentacontágono regular es 172⁴⁄₅°, lo que significa que un ángulo exterior sería 7¹⁄₅°.

El área de un pentacontágono regular es (con t = longitud del perímetro)

${\displaystyle A={\frac {25}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{50}}}$

y su inradio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{50}}}$

El circunradio de un pentacontágono regular tiene la fórmula

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{50}}}$

Dado que 50 = 2 × 5², un pentacontágono regular no se puede construir con regla y compás,^[3] y no se puede construir incluso si se permite el uso de un trisector de ángulo.^[4] Sin embargo, se puede construir usando una curva auxiliar (como la Cuadratriz de Hipias o una espiral de Arquímedes), ya que tales curvas se pueden usar para dividir ángulos en cualquier número de partes iguales. Por ejemplo, se puede construir un ángulo de 36 ° usando un compás y una regla y proceder a quintisectarlo (dividirlo en cinco partes iguales) usando una espiral de Arquímedes, dando el ángulo de 7.2° requerido para construir un pentacontágono.

Simetría

Simetrías de un pentacontágono regular. Las líneas de color azul claro muestran subgrupos del índice 2. Los 3 subgrafos encuadrados están relacionados posicionalmente por subgrupos de índice 5.

El pentacontágono regular posee simetría diedral Dih₄₀, orden 100, representada por 50 ejes de reflexión. Dih₅₀ tiene 5 subgrupos diedrales: Dih₂₅, (Dih₁₀, Dih₅), y (Dih₂, Dih₁). También posee seis simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z₅₀, Z₂₅), (Z₁₀, Z₅), and (Z₂, Z₁), con Z_n representando la simetría rotacional de π/n radianes.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra, y el orden de la simetría sigue a la letra.^[5] Así, utiliza d (diagonal) con ejes de simetría a través de vértices, p con ejes de simetría a través de los lados (perpendiculares), i con ejes de simetría a través de vértices y lados; y la letra g para los casos de simetría rotacional. El código a1 indica la carencia de simetría.

Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir tetracontágonos irregulares. Solo el subgrupo g50 no tiene grados de libertad, y puede considerarse como un grafo dirigido.

Pentacontagrama

Un pentacontagrama es una estrella de 50 vértices. Hay nueve formas regulares proporcionados por los símbolos de Schläfli {40/3}, {40/7}, {40/9}, {40/11}, {40/13}, {40/17} y {40/19}; además de otras 16 fórmulas de estrellas coincidentes con alguna configuración de vértices anterior.

Estrellas regulares {50/k}

Imagen	{50⁄3}	{50⁄7}	{50⁄9}	{50⁄11}	50⁄13
ángulo interior	158.4°	129.6°	115.2°	100.8°	86.4°
Imagen	{50⁄17 }	{50⁄19 }	{50⁄21 }	{50⁄23 }
ángulo interior	57.6°	43.2°	28.8°	14.4°