Relatividad general

Para una presentación accesible y menos técnica, véase Introducción a la relatividad general.

La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916.

Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarían inmediatamente y más tarde nos llegarían las de origen electromagnético, que se transmiten a la velocidad de la luz.

Esquema bidimensional de la curvatura del espacio-tiempo (cuatro dimensiones) generada por una masa esférica.

El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad y el principio de relatividad para un observador arbitrario. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado. La teoría de la relatividad general propone que la propia geometría del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia de materia, de lo cual resulta una teoría relativista del campo gravitatorio. De hecho la teoría de la relatividad general predice que el espacio-tiempo no será plano en presencia de materia y que la curvatura del espacio-tiempo será percibida como un campo gravitatorio.

La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

Einstein expresó el propósito de la teoría de la relatividad general para aplicar plenamente el programa de Ernst Mach de la relativización de todos los efectos de inercia, incluso añadiendo la llamada constante cosmológica a sus ecuaciones de campo^[1] para este propósito. Este punto de contacto real de la influencia de Ernst Mach fue claramente identificado en 1918, cuando Einstein distingue lo que él bautizó como el principio de Mach (los efectos inerciales se derivan de la interacción de los cuerpos) del principio de la relatividad general, que se interpreta ahora como el principio de covariancia general.^[2]

El matemático alemán David Hilbert escribió e hizo públicas las ecuaciones de la covariancia antes que Einstein, ello resultó en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein, pero probablemente sea más porque es una teoría (o perspectiva) geométrica. La misma postula que la presencia de masa o energía «curva» el espacio-tiempo, y esta curvatura afecta la trayectoria de los cuerpos móviles e incluso la trayectoria de la luz.

Historia

Poco después de la formulación de la teoría de la relatividad especial en 1905, Albert Einstein comenzó a elucubrar cómo describir los fenómenos gravitatorios con ayuda de la nueva mecánica. En 1907 se embarcó en la búsqueda de una nueva teoría relativista de la gravedad que duraría ocho años. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó el 25 de noviembre de 1915 con la presentación a la Academia Prusiana de las Ciencias de su artículo, que contenía las que hoy son conocidas como "Ecuaciones de Campo de Einstein". Estas ecuaciones forman el núcleo de la teoría y especifican cómo la densidad local de materia y energía determina la geometría del espacio-tiempo.

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó los métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero ya en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de las Ecuaciones de Campo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo año, se iniciaron los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos con carga eléctrica, obteniéndose así la solución de Reissner-Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros.

En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, en el que se suponía que el universo era estático, agregó a sus ecuaciones una constante cosmológica para reproducir esa "observación". En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros demostraron que nuestro universo se está expandiendo. Esto es fácilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann en 1922 para la expansión cosmológica, que no requieren de una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declaró más tarde que agregar esa constante cosmológica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida.

Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El mismo Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría lograba explicar el avance del perihelio anómalo del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedición de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein instantáneamente. Sin embargo, esta teoría ha entrado en la corriente de la física teórica y la astrofísica desarrolladas aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los físicos empezaron a comprender el concepto de agujero negro, y a identificar la manifestación de objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista, también se volvió susceptible a encaminar pruebas observacionales.

Antecedentes

Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujeron a la aceptación de la teoría prácticamente por la totalidad de los físicos. Eso llevó a que antes de la formulación de la relatividad general existieran dos teorías físicas incompatibles:

• La teoría especial de la relatividad, covariante en el sentido de Lorentz, que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instantáneas a distancia.
• La teoría de la gravitación de Newton, explícitamente no-covariante, que explicaba de manera adecuada la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia (concepto de fuerza a distancia).

La necesidad de buscar una teoría que integrase, como casos límites particulares, las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de incluir la gravitación en una teoría de formulación covariante, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable solo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable solo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.

Esta búsqueda era necesaria, ya que según la relatividad espacial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo de tipo espacio (space-like). Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz.

Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeficientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.

En esta visión, la gravitación solo sería una pseudo-fuerza (equivalente a la fuerza de Coriolis, o a la fuerza centrífuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.

Principios generales

Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes:

• El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas.
• El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales.
• La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitatorio sigue una trayectoria geodésica.

Principio de covariancia

Artículo principal: Principio de covariancia

El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esto último equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y desde el punto de vista físico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma matemática y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general.

El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la "invarianza" de forma buscada, satisfaciéndose el principio físico de covariancia.

El principio de equivalencia

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como de «gravedad cero»). Se dice por ello que son observadores inerciales.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad general lo constituye el principio de equivalencia, enunciado por Albert Einstein en el año 1912 y al que su autor calificó como «la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales.

Galileo distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) y cuerpos de movimiento no inercial (sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton (que se remonta a los trabajos del dominico español Domingo de Soto), toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula:

${\displaystyle m={\frac {F}{a}}}$

donde a es la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético o, cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galileo, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9,8 m/s² sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraído hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los principios de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra.

Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad tiene este carácter en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial.

El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la Tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, "sienten su peso").

Ejemplos de sistemas inerciales según el Principio de Equivalencia

Sistema	¿Es inercial? (Principio de Equivalencia)	¿Es inercial? (Mecánica newtoniana)
Cuerpo en caída libre	Sí	No
Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre	No	Sí
Planeta orbitando alrededor del sol	Sí	No
Nave precipitándose hacia la tierra	Sí	No
Cohete despegando desde una base de lanzamiento	No	No

Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p. ej. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.

La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre).

Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

La curvatura del espacio-tiempo

Artículo principal: Curvatura del espacio-tiempo

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 "Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz".^[3]

Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hν.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: el astrónomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul.^[4] Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \ E_{obs}=E_{con}e^{-\Phi }}$

${\displaystyle \ h\nu _{rec}=h\nu _{em}e^{-\Phi }}$

${\displaystyle \nu _{rec}=\nu _{em}e^{-\Phi }\,}$

donde ${\displaystyle E_{obs}\,}$ es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), ${\displaystyle \ \Phi }$ el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra este, ${\displaystyle \ E_{con}}$ la energía conservada del fotón, ${\displaystyle \nu _{em}}$ la frecuencia de emisión, ${\displaystyle \nu _{rec}}$ es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y ${\displaystyle \ h}$ la constante de Planck.

Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo (${\displaystyle E_{obs}}$) y la energía conservada del fotón (${\displaystyle E_{con}}$)? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación:

${\displaystyle \ \nu _{rec}=\nu _{em}e^{-\Phi }}$

puede escribirse de este modo:

${\displaystyle \ {\frac {\mbox{ciclos}}{\Delta t_{obs}}}={\frac {\mbox{ciclos}}{\Delta t_{em}}}e^{-\Phi }}$

Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado período (generalmente, un segundo). Donde ${\displaystyle \Delta t_{em}}$ es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de este), mientras que ${\displaystyle \Delta t_{obs}}$ es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

${\displaystyle \Delta t_{em}=\Delta t_{obs}e^{-\Phi }\,}$

${\displaystyle \Delta t_{obs}=\Delta t_{em}e^{\Phi }\,}$

En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos:

${\displaystyle \lim _{r\to 0}\Delta t_{obs}=\Delta t_{em}e^{-\infty }\to \lim _{r\to 0}\Delta t_{obs}=0}$

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano

Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas ("rectas"), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximación progresiva.

La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre.

Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.

Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.

En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado.

Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.

Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

Formulación matemática y consideraciones generales

Artículo principal: Introducción matemática a la relatividad general

No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores.

A. Einstein, en una carta a una niña de nueve años.

Matemáticamente, Einstein conjeturó que la geometría del universo deja de ser euclidiana por la presencia de masas. Einstein modelizó que el universo era un tipo de espacio-tiempo curvo mediante una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía-momento en dicho punto.

Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura "le dice a la materia como moverse", y de forma recíproca la "materia le dice al espacio como curvarse". En términos más precisos las trayectorias de las partículas se ven afectadas por la curvatura, y la presencia de muchas partículas en una región altera notoriamente la curvatura. La relatividad general se distingue de otras teorías alternativas de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura.

Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica cuántica como a la teoría de la relatividad general y que proponga una ecuación de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general

Artículo principal: Introducción matemática a la relatividad general

La derivada covariante

Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula (${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}u^{r}=0}$). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra con una aceleración creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero —${\displaystyle {\frac {dv^{r}}{dt}}\not =0}$—)

Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de ${\displaystyle 9,8{\text{ m/s}}^{2}}$ (y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}u^{r}=9,8}$^[5]). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero (${\displaystyle {\frac {dv^{r}}{dt}}=0}$)

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue definida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática.

Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que si consideramos que está en caída libre, progresivamente se irá aproximando al origen del campo gravitatorio, y el observador externo detectará que tiene una aceleración constante g.

Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad ${\displaystyle \left({\frac {D{\vec {u}}}{d\tau }}\right)}$ o ${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}{\vec {u}}}$^[6] es la aceleración medida por un observador comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados) y que a diferencia de la derivada ordinaria, no detectará ninguna aceleración, a menos que el piloto encienda los motores o que algún meteorito lo impacte.

En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y sobre la base de este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está en caída libre tiene una aceleración ordinaria que depende de la masa del cuerpo sobre el cual está cayendo, pero su aceleración inercial es nula, a menos que se le aplique alguna otra fuerza. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante.

Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial, ya que la percepción del espacio-tiempo dependerá de la velocidad del observador comóvil:

${\displaystyle \nabla _{\beta }{\vec {u}}=\partial _{\beta }(u^{\alpha }{\vec {e}}_{\alpha })}$

Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

${\displaystyle \nabla _{\beta }{\vec {u}}=(\partial _{\beta }u^{\alpha }){\vec {e}}_{\alpha }+u^{\alpha }(\partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha })}$

Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componente ${\displaystyle \ \mu }$ de la derivada parcial de ${\displaystyle \ e_{\alpha }}$ respecto a ${\displaystyle \ \beta }$: ${\displaystyle \partial _{\beta }{\vec {e}}_{\alpha }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }}$. De este modo:

${\displaystyle \nabla _{\beta }{\vec {u}}=(\partial _{\beta }u^{\alpha }){\vec {e}}_{\alpha }+u^{\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }}$

Realizamos un intercambio de índices (${\displaystyle \ \mu }$ por ${\displaystyle \ \alpha }$) en el último término del segundo miembro de la ecuación:

${\displaystyle \nabla _{\beta }{\vec {u}}=(\partial _{\beta }u^{\alpha }){\vec {e}}_{\alpha }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }{\vec {e}}_{\alpha }}$

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

${\displaystyle \nabla _{\beta }{\vec {u}}=(\partial _{\beta }u^{\alpha }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }){\vec {e}}_{\alpha }}$

${\displaystyle \nabla _{\beta }u^{\alpha }=\partial _{\beta }u^{\alpha }+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }}$

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente ${\displaystyle \ \beta }$ de la tetravelocidad (${\displaystyle \ u^{\beta }={\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}}$) y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

${\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\nabla _{\beta }u^{\alpha }=\partial _{\beta }u^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}}$

${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}u^{\alpha }={\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }u^{\beta }}$

Puesto que para un observador inercial (p. ej. un cuerpo en caída libre) ${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}u^{a}=0}$, esta última ecuación toma la siguiente forma:

${\displaystyle 0={\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}+\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }u^{\beta }}$

${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}=-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }u^{\mu }u^{\beta }}$

Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo.

Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton^[7] y Kepler.^[8]

A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclídeo, la derivada de una base (por ejemplo ${\displaystyle e_{x}}$) respecto a otra coordenada (pongamos ${\displaystyle y}$) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle \ \Gamma _{\beta \mu }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \sigma }(\partial _{\mu }g_{\sigma \beta }+\partial _{\beta }g_{\sigma \mu }-\partial _{\sigma }g_{\beta \mu })}$

Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo

Artículo principal: Principio de acoplamiento mínimo

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modifican mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones:

• La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante.
• La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\longrightarrow g_{\mu \nu }\left(x\right)}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\longrightarrow \nabla _{\mu }\left(x\right)}$

De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

${\displaystyle \partial _{\beta }u^{\alpha }=0\to \nabla _{\beta }u^{\alpha }=0}$

Ley de conservación de la energía:

${\displaystyle \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0\to \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0}$

Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoffel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\nabla _{\alpha }A_{\beta }-\nabla _{\beta }A_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\Gamma _{\beta \alpha }^{\mu }A_{\mu }-\partial _{\beta }A_{\alpha }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }A_{\mu }}$

${\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\beta \alpha }^{\mu }}$

Alteración de las leyes físicas producida por la curvatura

Derivada covariante

Objeto o ley físico-matemática	Espacio-tiempo llano	Espacio-tiempo curvo	¿Se produce alteración por la curvatura?
Ley de conservación de la energía	${\displaystyle \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }T^{\alpha \beta }=0}$	Sí
Tensor electromagnético	${\displaystyle F_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$	${\displaystyle F_{ij}=\nabla _{i}A_{j}-\nabla _{j}A_{i}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}$	No
Ecuaciones de Maxwell	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	No
Velocidad de la luz	${\displaystyle \ c}$	${\displaystyle \ c}$	No
Ecuación de un sistema inercial	${\displaystyle {\frac {du^{\alpha }}{dt}}=0}$	${\displaystyle \nabla _{\vec {u}}{\vec {u}}={\frac {du^{\alpha }}{dt}}+\Gamma _{\beta \nu }^{\alpha }u^{\beta }u^{\mu }=0}$	Sí
Aceleración	${\displaystyle a={\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}}$	${\displaystyle a^{\alpha }={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}}$	Sí
Volumen	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	Sí

• Ecuación líneas geodésicas

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo

Véanse también: Tensor de curvatura, Transporte paralelo y Fuerza de marea.

Aproximación de dos geodésicas (en verde) en una superficie esférica. Su vector de separación ${\displaystyle \xi }$ (primero rosa, luego azul) va progresivamente contrayéndose conforme nos acercamos al Polo Norte, siguiendo las pautas marcadas por el tensor de Riemann.

La medición de la curvatura de cualquier variedad (ya se trate del espacio-tiempo, de una esfera o de una silla de montar) viene determinada por el tensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una función de los símbolos de Christoffel y sus derivadas de primer orden.

El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviación de dos líneas en origen paralelas cuando se desplazan a través de una superficie curva. Es bien sabido que en una variedad llana las líneas paralelas jamás se cortan, sin embargo esta regla no rige en el caso de las superficies curvas de geometría elíptica. Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en dirección norte. En ambos casos, el ángulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90°, por lo que se trata de dos líneas paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia recíproca se hace cada vez más pequeña hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se cortan sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximación entre las dos geodésicas utilizamos la siguiente ecuación:

${\displaystyle d^{2}\xi ^{\alpha }=R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }dx^{\beta }\xi ^{\mu }dx^{\nu }}$

donde ${\displaystyle \ dx^{\beta }}$ y ${\displaystyle \ dx^{\mu }}$ representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y ${\displaystyle \ \xi ^{\mu }}$ la distancia de separación entre ellas.

Aceleración recíproca de dos líneas de universo geodésicas. Como vemos, conforme se avanza en la coordenada temporal, el tensor de Riemann curva las geodésicas y provoca el acercamiento recíproco de las dos partículas.

En el espacio-tiempo, que también es una variedad curva, las cosas funcionan de un modo parecido: el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas de universo de dos sistemas inerciales (p. ej. dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Para calcular dicha aceleración, aplicamos de nuevo la conocida fórmula, modificándola ligeramente:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi ^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}=R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }u^{\beta }\xi ^{\mu }u^{\nu }}$

donde ${\displaystyle d\tau }$ es un parámetro afín (el tiempo local) y ${\displaystyle u^{\beta }}$ y ${\displaystyle u^{\mu }}$ son los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, según el esquema de Minkowski, equivalen geométricamente a campos vectoriales tangentes a ambas líneas de universo.

Fuerzas de marea

Todo esto nos conecta con lo que en física newtoniana se denominan fuerzas de marea, responsables de múltiples fenómenos astronómicos y cuya base teórica reposa en el planteamiento siguiente: Supongamos que una determinada nave espacial está cayendo a un agujero negro. Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria más intensa que la popa, por el simple hecho de que la primera está más próxima que la segunda al horizonte de sucesos. Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suficientemente intensa, la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse definitivamente.

El gradiente gravitatorio es también responsable del ciclo de mareas: Las zonas de la tierra más cercanas a la Luna, experimentan una mayor atracción gravitatoria que las más lejanas a ella, lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas áreas de la superficie terrestre que están alineadas con la Luna.

En relatividad general, la aceleración de marea viene originada por el tensor de Riemann. Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas. En efecto, la ecuación newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente:

${\displaystyle a^{i}=\Phi _{,ii}\xi ^{i}}$

donde a es la aceleración de marea, ${\displaystyle \Phi }$ el potencial gravitatorio y ${\displaystyle \xi }$ la distancia entre las dos partículas. Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio.

Desde el punto de vista relativista, las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la región del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribución uniforme de la curvatura, los componentes toman aproximadamente los valores siguientes:

${\displaystyle R_{0i0}^{i}\approx \Phi _{,ii}}$

${\displaystyle R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }\approx 0}$ para el resto de los índices

Demostración

Las expresiones que relacionan el tensor de Riemann con los símbolos de Christoffel son las siguientes: ${\displaystyle R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \nu ,\mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^{\alpha }+\Gamma _{\beta \nu }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu }^{\rho }\Gamma _{\rho \nu }^{\alpha }}$ En un marco de Lorentz, donde se hacen nulos los coeficientes de los símbolos de Christoffel pero no así sus primeras derivadas, la fórmula para el cálculo del tensor de curvatura queda simplificada: ${\displaystyle R_{\beta \mu \nu }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \nu ,\mu }^{\alpha }-\Gamma _{\beta \mu ,\nu }^{\alpha }}$ Si el espacio-tiempo es newtoniano o cuasinewtoniano (poca densidad de cuadrimomento, fluidos no relativistas) los únicos coeficientes no nulos de los símbolos de Christoffel son los correspondientes a ${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}}$. Tenemos pues:

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=\Phi _{,i}}$ de lo contrario ${\displaystyle \Gamma _{\beta \mu }^{\alpha }=0}$

${\displaystyle R_{0i0}^{i}=\Gamma _{00,i}^{i}-\Gamma _{0i,0}^{i}}$

${\displaystyle R_{0i0}^{i}=\Gamma _{00,i}^{i}}$

${\displaystyle R_{0i0}^{i}=\Phi _{,ii}}$

De ahí que sea muy simple deducir la ecuación clásica partir de la relativista:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\xi ^{i}}{d\tau ^{2}}}=R_{0i0}^{i}u^{0}\xi ^{i}u^{0}\to a^{i}=\Phi _{,ii}\xi ^{i}}$

Como se puede deducir de los párrafos anteriores, en relatividad general las fuerzas de marea están determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los símbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no nulo, el diferencial de los símbolos de Christoffel provoca la dispersión de las geodésicas correspondientes a partículas de un fluido determinado.

${\displaystyle \ \partial \Gamma _{\beta \mu }^{\alpha }\not =0}$

${\displaystyle \ {\frac {du^{\alpha }}{d\tau }}=-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }u^{\mu }u^{\nu }}$

Las geodésicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) vienen determinadas por los valores de los símbolos de Christoffel. Si éstos son constantes, las partículas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleración, y no se altera su distancia entre sí. Pero si los componentes de los símbolos de Christoffel varían a lo largo de una determinada región, ello conlleva la divergencia de las líneas de universo de las partículas y la distorsión del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente.

En esta recreación artística se reproducen el planeta y los dos cinturones de asteroides que orbitan alrededor de la estrella Épsilon Eridani.

Las fuerzas de marea y el tensor de Riemann tienen una importancia fundamental en la formación y configuración de los sistemas planetarios, así como en multitud de procesos astrofísicos y cosmológicos. Sirva de ejemplo nuestro propio sistema solar: Hace cerca de 4500 millones de años, una nube molecular alcanzó la densidad y la compresión suficientes como para transformarse en un sistema planetario. La mayor parte del material de la nube se precipitó sobre en torno al núcleo, dando lugar al Sol. Sin embargo, ciertas cantidades de gas y de polvo continuaron rotando bajo la forma de un disco de acreción, y se aglutinaron para dar origen a planetesimales y posteriormente a planetas.