Zonágono

En geometría, un zonágono (del término en inglés zonogon; "polígono zonal") es un polígono convexo con simetría central.^[1] De manera equivalente, se trata de un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con iguales longitudes y orientaciones opuestas (cuando se recorre el polígono en un sentido determinado).

Zonágono octogonal

Teselado irregular con zonágonos hexagonales

Teselado octogonal mediante cuadrados y rombos

Ejemplos

Un polígono regular es un zonágono si y solo si tiene un número par de lados.^[2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octógono regular son todos zonógonos.

Los zonógonos de cuatro lados son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y los paralelogramos.

Teselado y equidisección

Los zonágonos de cuatro lados y de seis lados son paralelógonos, capaces de formar mosaicos en el plano mediante copias trasladadas de sí mismos, y todos los paralelógonos convexos poseen esta propiedad.^[3]

Cada zonágono con ${\displaystyle 2n}$ lados puede ser teselado por ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$ zonágonos de cuatro lados.^[4] Para este recubrimiento, se requiere un tipo de zonágono de cuatro lados por cada par de pendientes distintas de los lados del zonágono de ${\displaystyle 2n}$ lados a recubrir. Al menos tres de los vértices del zonágono deben ser vértices de solo una de las teselas de cuatro lados en cualquiera de tales recubrimientos.^[5] Por ejemplo, el octógono regular puede ser recubierto por dos cuadrados y por cuatro rombos con ángulos de 45°.^[6]

En una generalización del teorema de Monsky,Paul Monsky (1990) demostró que ningún zonágono posee una equidisección con un número impar de triángulos de igual área.^[7][8]

Otras propiedades

En un zonágono de ${\displaystyle n}$ lados, como máximo ${\displaystyle 2n-3}$ pares de vértices pueden estar a una distancia unidad entre sí. Existen zonágonos con ${\displaystyle n}$ lados ${\displaystyle 2n-O({\sqrt {n}})}$ pares a distancia unidad.^[9]

Formas relacionadas

Los zonágonos son los análogos bidimensionales de los zonaedros tridimensionales y de los zonátopos de mayor dimensión. Como tales, cada zonágono puede ser generado como la suma de Minkowski de una colección de segmentos rectos en el plano.^[1] Si no hay dos segmentos paralelos, habrá un par de lados paralelos por cada segmento de línea. Cada cara de un zonahedro es un zonágono, y cada zonágono es la cara de al menos un zonaedro, el prisma sobre ese zonágono. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonaedro) es un zonágono.