Otsekorrutis

Otsekorrutis defineeritakse matemaatikas kahe teatud liiki objekti jaoks teatava kolmanda sama liiki objektina. Defineerime otsekorrutise kõigepealt hulkade, siis teiste matemaatiliste objektide jaoks.

Hulkade otsekorrutis

Kui on antud kaks hulka X ja Y, siis nende otsekorrutis ehk Descartesi korrutis ehk Cartesiuse korrutis ehk ristkorrutis X × Y on kõikide niisuguste järjestatud paaride hulk, mille esimene liige on hulga X element ja teine liige on hulga Y element.

X × Y = { (x,y) | x ∈ X ja y ∈ Y }

Näiteks kui X on hulk {A, K, E, S, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} ja Y on hulk {poti, ruutu, ärtu, risti}, siis nende hulkade otsekorrutis X × Y on hulk { (A, poti), (K, poti), ... (2, poti), (A, ärtu), ... (3, risti), (2, risti) }.

Kui A={a, b} ja B={c,d,e}, siis A×B = { (a, c), (a, d), (a,e), (b, c), (b, d), (b, e)}

Juhul kui X=Y, siis hulga X otsekorrutist iseendaga tähistatakse X².

Teine näide on tasand ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, kus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on kõikide reaalarvude hulk.

Kahe hulga otsekorrutise alamhulgad on definitsiooni kohaselt binaarsed seosed.

Mõned otsekorrutise omadused on:

• Mis tahes hulga otsekorrutis tühja hulgaga on alati tühi hulk.
• Kui X ja Y on lõplikud hulgad, siis hulga X × Y võimsus (elementide arv) on hulkade X ja Y võimsuste korrutis.
• Hulk A × B on üldjuhul erinev hulgast B × A.

Kahe hulga otsekorrutise üldistamisel saame n hulga X₁,... ,X_n (üldistatud) otsekorrutise:

X₁ × ... × X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ ∈ X₁ ja ... ja x_n ∈ X_n }

Teine tähistusviis on

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ .

Otsekorrutist võib samastada hulgaga (X₁ × ... × X_n–1) × X_n. See on n-korteežide hulk.

Juhul kui X₁= ... =X_n=X, tähistatakse otsekorrutist Xⁿ.

Üks niisuguse korrutise näide on kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}}$, kus ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on reaalarvude hulk.

Kui X={0,1}, siis X³ = X × X × X = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}.

Kui mõne i korral X_i=f, siis V₁×V₂×V₃×....V_n = f.

Otsekorrutist nimetatakse René Descartesi nime järgi ka Descartesi ehk Cartesiuse korrutiseks. See mõiste sündis koos analüütilise geomeetriaga, kui Descartes võttis tarvitusele Descartesi koordinaadid.

Vaata ka

• Hulgateooria