Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet ${\displaystyle a^{n}}$ kahe arvuga: arvu ${\displaystyle n}$ nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu ${\displaystyle a}$ astendatavaks ehk astme aluseks. Kui ${\displaystyle n}$ on naturaalarv, siis tähendab astendamine ${\displaystyle n}$ võrdse teguri ${\displaystyle a}$ korrutamist:^[1]

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}.\,}$

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Astme mõiste

Astmeks nimetatakse

• ühest suurema naturaalarvu ${\displaystyle n}$ korral korrutist, milles on ${\displaystyle n}$ võrdset tegurit ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$
• negatiivse astendaja korral ${\displaystyle a^{-n}={1 \over a^{n}}}$, kui ${\displaystyle a}$ ≠ 0
• ${\displaystyle a^{1}=a}$
• ${\displaystyle a^{0}=1}$, kui ${\displaystyle a>0}$
• ratsionaalarvulise astendaja korral ${\displaystyle a^{m \over n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$, ${\displaystyle a}$ > 0
• irratsionaalarvulise astendaja korral ${\displaystyle a^{s}=\lim _{n\to \infty }{a^{r_{n}}}}$, kus ${\displaystyle r_{n}}$ on suvaline ratsionaalarvude jada, mille piirväärtuseks on irratsionaalarv ${\displaystyle s}$.

Astme omadusi

• Kui ${\displaystyle a>0}$, siis iga reaalarvulise astendaja ${\displaystyle r}$ korral ka ${\displaystyle a^{r}>0}$
• ${\displaystyle {(-a)}^{2n}=a^{2n}}$
• ${\displaystyle {(-a)}^{2n+1}=-a^{2n+1}}$
• Iga ${\displaystyle r>0}$ korral ${\displaystyle 0^{r}=0}$

1. ${\displaystyle 1^{r}=1}$

Tehted astmetega

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liituvad ${\displaystyle {a^{m}\cdot a^{n}}=a^{m+n}}$
2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel astendatavad korrutatakse ${\displaystyle {a^{m}\cdot b^{m}}=(ab)^{m}}$
3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse ${\displaystyle {a^{m} \over a^{n}}=a^{m-n}}$
4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel astendatavad jagatakse ${\displaystyle {a^{m} \over b^{m}}={\left({a \over b}\right)}^{m}}$
5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse ${\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}}$

Vaata ka

• Juur (matemaatika)
• Logaritm
• Newtoni binoomvalem
• Astmefunktsioon
• Aritmeetiline tehe