Osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks (lühidalt ODV) nimetatakse võrrandit, mis sisaldab otsitavat funktsiooni ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ja selle osatuletisi. Osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks nimetatakse diferentsiaalvõrrandeid, kus otsitavaks on mitme muutuja funktsioon ja võrrand sisaldab osatuletisi.^[1]

Teist järku ODV lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Teist järku ODV

Teist järku ODV sisaldab otsitavat funktsiooni ja tema osatuletisi, kusjuures osatuletised ei ole kõrgemad kui teist järku. Üldkujul on tegemist ${\displaystyle n}$-muutujaga teist järku ODV. Seega

${\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i},x_{k}}}\right)=0\quad i,k=1,2,\ldots ,n}$

Lineaarsus ja kvaasilineaarsus

Vaatleme kahe sõltumatu muutujaga ${\displaystyle x,y}$ teist järku ODV-si. Seega nende üldkuju on

${\displaystyle F\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=0}$, kasutades tähistust ${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}=u_{x}}$, ${\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}=u_{xy}}$

saab viimast kompaktsemalt esitada ${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0}$

• Lineaarseks nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandit, kui see on lineaarne lahendi ${\displaystyle u}$ ning selle osatuletiste suhtes. See tähendab, et osatuletised on esimeses astmes ja kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest ${\displaystyle x,y}$.

${\displaystyle a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+cu=f,}$

kus ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c}$ ja ${\displaystyle f}$ sõltuvad ${\displaystyle (x,y)}$-st.

• Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne võrrand on kujul

${\displaystyle a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0,}$

kus ${\displaystyle a_{ij}}$ sõltuvad ${\displaystyle (x,y)}$-st.

• Kvaasilineaarse võrrandi korral sõltuvad kordajad ${\displaystyle a_{ij}}$ peale ${\displaystyle x,y}$-i ka ${\displaystyle u}$-st ja tema esimest järku osatuletistest.

Teist järku ODV kanoonilised kujud

• Elliptiline: ${\displaystyle u_{x_{1}x_{1}}+u_{x_{2}x_{2}}+\ldots +u_{x_{n}x_{n}}=\phi }$
• Hüperboolne: ${\displaystyle u_{x_{1}x_{1}}=\sum _{i=2}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi }$
• Ultrahüperboolne: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{x_{i}x_{i}}=\sum _{i=m+1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi }$
• Paraboolne: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-m}(\pm u_{x_{i}x_{i}})=\phi ,\,m>0}$