Vahe (hulgateooria)

Hulgateoorias nimetatakse hulkade A ja B vaheks hulka, mille elementideks on need hulga A elemendid, mis ei ole hulga B elemendid. Teiste sõnadega, x on hulkade A ja B vahe element siis ja ainult siis, kui x on A element, kuid ei ole B element.

Hulkade A ja B vahet tähistatakse tavaliselt A\B.

Definitsioon

${\displaystyle A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.}$,

kus ${\displaystyle \wedge }$ tähistab konjunktsiooni.

Näited

Näiteks hulkade {1, 2, 3, 4} ja {3, 4} vahe on {1, 2}.

Omadused

Hulkade vahe tehtel on järgmised omadused:

${\displaystyle A\cup (B\setminus A)=A\cup B}$,

${\displaystyle A\setminus (A\cap B)=A\setminus B}$,

${\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}$,

${\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}$,

kus ∩ tähistab ühisosa ja ∪ ühendit. ^[1]

Täiend

Hulkade vahe abil defineeritakse hulga täiend. Hulga A täiendiks universaalse hulga U suhtes nimetatakse hulka U \ A ja tähistatakse ${\displaystyle A^{c}}$ või ${\displaystyle {\overline {A}}}$.