Zorni lemma

Zorni lemma ehk Kuratowski-Zorni lemma on oluline hulgateooria teoreem, mis ütleb:

Kui osaliselt järjestatud hulga iga lineaarselt järjestatud alamhulk on ülalt tõkestatud, siis leidub sellel hulgal maksimaalne element.

Zorni lemma kehtib, kui eeldatakse valikuaksioomi. Õigupoolest on see Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias valikuaksioomiga ekvivalentne: Zorni lemmat eeldades on omakorda võimalik tõestada valikuaksioom. Zorni lemma on ekvivalentne ka Zermelo teoreemiga.^[1]

Ajalugu

Max Zorn sõnastas 1935 "maksimumiprintsiibi" ^[2], millele John Tukey pani nimeks "Zorni lemma". Sarnase oli varem sõnastanud Kazimierz Kuratowski aastal 1922 ^[3], mistõttu Zorni lemmat nimetatakse ka Kuratowski-Zorni lemmaks.

Zorn sõnastas oma maksimumiprintsiipi hulkade ahelate jaoks, mille järjestus on määratud sisalduvusseose kaudu. Ahel on definitsiooni järgi niisugune hulkade süsteem, mille igast kahest elemendist üks on teise alamhulk. Hulkade süsteem on definitsiooni järgi kinnine, kui iga selle elementide ahela ühend sisaldub selles süsteemis. Maksimumiprintsiip väidab, et igal kinnisel hulkade süsteemil leidub maksimaalne element, st hulk, mis ei ole selle hulkade süsteemi ühegi teise elemendi pärisalamhulk.

Viited

1. Kilp M. (2005). Algebra I, lk 31. Eesti Matemaatika Selts.
2. Max Zorn. A remark on method on transfinite algebra. – Bulletin of the American Mathematical Society, 41, 1935, lk 667 (667–670).
3. Casimir Kuratowski, Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques, Fundamenta Mathematicae 3 (1922), pp. 76–108. icm