Zenbaki-sistema hamartar

Zenbaki-sistema hamartarra zenbaki-sistema posizionala da; kantitateak hamar (10) zenbakia oinarri aritmetiko gisa erabiliz adierazten dira. Erabilitako sinboloen multzoa (arabiar zenbaki-sistema) hamar zifrek (edo digituek) osatzen dute: zero (0), bat (1), bi (2), hiru (3), lau (4), bost (5), sei (6), zazpi (7), zortzi (8) eta bederatzi (9).

Zenbaki-sistema hamartarra

Zenbaki-sistema hamartarrean idatzita dagoen zenbaki baten notazioari zenbaki hamartarra (beste hizkuntzetan numeral hamartarra) deritzo. Zenbaki dezimaldunak (edo numeral dezimaldunak) dezimalak dituzten zenbaki hamartarrak dira (205.9703 edo 0.00731), marka dezimal (“,” edo “.”) baten bidez identifikatu daitezkeenak. Dezimalak, izan ere, marka dezimalaren ostean datozen digituak dira. Adibidez, π  3.14 zenbaki dezimaldun bezala hurbil dezakegu, non 1 eta 4 digituak dezimalak diren. Printzipioz, edozein zenbaki errealen hedapen dezimala nahi den neurrian egin daiteke.

Zenbaki-sistema hamartarraren bidez adieraz daitezkeen zenbakiak zatiki hamartarrak dira. Alegia, a/10ⁿ forma duten zatikiak, non a edozein zenbaki oso bat den, eta n zenbaki oso eta positibo bat.

Historia laburra

Zenbaki-sistema hamartarraren jatorri posiblea

Antzina, ohikoena eskuekin kontatzea zenez, 10eraino eta 10ren multiploak zenbatzeko ohitura zegoen, 10 hatz baitaude esku bietan. Hainbat zibilizaziok erabiltzen zuten 10ean oinarrituriko sistemak; besteak beste, Egiptoko zenbakera, Greziako zenbakera eta Txinako zenbakera^[1]. Sistema efektiboa zen, baina zenbaki handiak adierazteko edo biderketa eta zatiketak egiteko zailtasunak zituen.

I. mendean zehar, Indian, zenbaki sistema berri bat garatzen hasi zen: zenbaki-sistema hindu-arabiarra. Zenbaki-sistema posizionala zen; hau da, digitu bakoitzaren balioa, bere posizioaren araberakoa da. Sistema hindu-arabiarra X. mendean iritsi zen Europara. Berarekin batera, abantaila bat zekarren: zenbaki osoak adieraz zitekeen.

Denbora pasa ahala, sistema hau zabaldu zen; osoak ez diren zenbakiak adierazten hasi ziren. Zenbaki mota honi zatiki edo frakzio dezimal deritzo. Frakzio dezimalen erabilerarekin, zenbaki sistema-hamartarra jaio zen^[2].

Oinarri matematikoak

Euskaraz zenbaki hitzak bi esanahi ditu: Balio numeriko bat adierazteko erabilitako zifra multzoa eta zifra multzoak berak adierazten duen balioa. Artikuluan esandakoa modu argiago batean azaltzeko asmoz, zenbaki hitza erabili da balioari erreferentzia egiteko eta numeral hitza erabili da balio bat adierazten duen zifra multzoa deskribatzeko. Erregela honen salbuespen bakarra zenbaki-sistema hitz konposatua da, hala ezagutu ohi delako beste hizkuntzatan numeral-sistema moduan idatziko litzatekeena.

Zenbaki baten atalak

Zenbakiak adierazteko, sistema hamartarrak hamar digitu ezberdin erabiltzen ditu (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Zenbaki negatiboak adierazteko, minus zeinu bat "-" gehitzen da numeralaren hasieran. Gainera, zenbaki ez osoak adierazteko, marka dezimal bat erabiltzen da. Marka dezimala^[3] "." puntua da herrialde askotan (gehienbat ingelesez hitz egiten dutenetan), eta koma "," beste herrialde batzuetan; artikulu honetan marka dezimal moduan puntua erabiliko da. Era berean, zenbaki ez negatibo bat adierazteko, numeral hamartar bat honakoaz dago osatua:

·        Digituen segida finitu batez, non segida osoak zenbaki oso bat adierazten duen.

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}}$

·        Edo marka dezimal batek separatzen dituen bi zifren segidaz

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{0}b_{1}\cdots b_{n}}$

Baldin eta m > 0 bada, hau da, lehenengo sekuentziak gutxienez bi digitu baditu, oro har, “${\displaystyle a_{m}}$” lehen digitua ez nulua kontsideratzen da. Zenbait egoeratan erabilgarria izan daiteke 0 bat edo gehiago idaztea ezkerrean; horrek ez du aldatzen numeralak adierazten duen balioa; adibidez, 3.14 = 03.14 = 003.14. Izan ere, ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{0}b_{1}\cdots b_{n}}$ numeralak honako balioa adierazten du:

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$

Ikus daitekeen moduan, digitu bakoitzak numeral baten balioari egiten dion ekarpena numeralean duen posizioaren araberakoa da. Hau da, sistema hamartarra zenbaki-sistema posizionala da.

Zenbaki negatibo bat adierazteko, minus zeinu bat jartzen da "${\displaystyle a_{m}}$" digituaren aurretik:

${\displaystyle -a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}$

Halakoetan, numeralak adierazten duen balioa minus gabe adierazitakoaren aurkakoa da; eta minus gabe idatzitako zenbakiarekin dago erlazionatuta modu honetan:

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}+(-a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{n})=0}$

Zati osoa

Esaten dugu zenbaki bat zenbaki osoa dela hura adierazten duen numeralak ez duenean marka dezimalik erabiltzen. Hau da, honako moduan idatz daitekeenean:

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}}$

Numeral orokor baten (${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}.b_{0}b_{1}\cdots b_{n}}$) zati osoa marka dezimalaren ezkerreko aldeko digituek duten balioa da. Zenbaki positiboen kasuan, numeral baten zati osoaren balioa beti da numeralaren balioa baino txikiagoa. Zenbaki negatiboen kasuan, aldiz, zati osoaren balioa numeralaren balioa baino handiagoa da, hau da, modulu txikiagoa du (Adibidez, -15 > -15.3 eta 15 < 15.3). Numeral baten zati osoak adierazten duen balioa beti da zenbaki osoa.

Zenbaki baten zati osoa zero denean posible da, batez ere konputazioan, zati osoa ez idaztea (adibidez, 0.1234ren ordez .1234 idaztea ). Idazkera arruntean, oro har, saihestu egiten da hori, marka dezimala beste sinbolo batzuekin nahasteko arriskua baitago.

Zati dezimala

Numeral baten zati dezimala (edo zati frakzionarioa) marka dezimalaren eskuineko aldeko digituek adierazten duten balioa da. Hau da, aurretik definitutako numerala erabiliz, ${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}$ numeralak adierazitako balioa. Zati dezimala duten numeralak ez dira zenbaki osoak eta zati dezimalaren luzera finitua edo infinitua izan daiteke zenbaki motaren arabera.

Marka dezimalaren eskuineko aldeko digituek dezimal izena hartzen dute; eta zati dezimalak adierazten duen balioa honakoa da:

${\displaystyle {\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$

Formula honek adierazten duena honakoa da: gehitutako dezimal bakoitzak 10^-n -ko zehaztasuna gehitzen dio numeralak adierazten duen balioari. Ondorioz, beste notazioetan adierazitako balioak sistema hamartarraren bitartez adieraz ditzakegu 10^-nko zehaztasunarekin.

Numeral hamartarren erabilera hurbilketa moduan

Numeral hamartarrek ez dute zenbaki erreal guztietarako adierazpen zehatza onartzen, bereziki zenbaki irrazionalen kasuan; hala ere, edozein zenbaki erreal nahi den zehaztasunarekin hurbiltzeko aukera ematen dute. Adibidez, 3.14159 hamartarra π-ra hurbiltzen da errorea 10⁻⁵ baino txikiagoa izanik; hau da, π eta 3.14159ren arteko desberdintasuna 10⁻⁵ baino txikiagoa da. Ondorioz, dezimalak oso erabiliak dira zientzian, ingeniaritzan eta eguneroko bizitzan.

Zenbakiak neurketa baten emaitza izan ohi dira. Neurketa horiek neurketa-errorearen mende daude, goi-muga ezaguna (10⁻ⁿ) duena. Halaber, neurketa baten emaitza ondo irudika daiteke, marka dezimalaren ondoren n digitu dituen numeral dezimaldun baten bidez. Beraz, praktikan, neurketa-emaitzak marka dezimalaren ondoren digitu kopuru jakin batekin ematen dira: horiek errore-mugak adierazten dituzte. Adibidez, 0.080 eta 0.08 numeralek zenbaki bera adierazten badute ere, 0.080 numeral dezimaldunak 0.001eaz mugatutako errore absolutua adierazten du, eta 0.08 zenbakiak, berriz, 0.01 errorea duela iradokitzen du (ikus, halaber, zifra esanguratsuak).

Bestelako kasuetan, zati dezimalaren azken zifra 0 bada, ezaba daiteke, numeralaren balioa aldatu gabe. Era berean, 0ak gehitzeak zati dezimalaren amaieran ez du numeralaren balioa aldatzen (e.g. 15 = 15.0 = 15.00). Zati dezimalaren amaieran agertzen diren 0 gehigarriei amaierako zeroak deritze.

Zatiki hamartarrak, zatiki moduan idatz daitezkeen zenbaki arrazionalak dira; besteak beste,

${\displaystyle 0.8={\frac {8}{10}}\quad$ ;\quad -14.89=-{\frac {1489}{100}}\quad ;\quad 0.00079=-{\frac {79}{100000}}}

non izendatzailea beti hamarreko berretura bat den. Numeral dezimaldun baten bidez (digitu kopuru finitu batekin) adierazi ezin den zatiki baten adibidea 1/3 da; izan ere, 3 (izendatzailea) ez da 10eko potentzia.

Modu orokorrago batean, dezimal markaren ondorengo n digitu dituen numeral dezimaldun bat izendatzailean 10ⁿ duen zatiki baten bidez idatz daiteke. Gainera, zatikiaren zenbakitzailea hasierako numeralari marka dezimala kenduta lortutako zenbaki osoa da. Hortaz, zenbaki bat zatiki hamartarra da, baldin eta soilik baldin adierazpen hamartar finitua badu.

Zenbaki arrazionalak

Zenbaki bat arrazionala da bi zenbaki osoen zatiketa moduan idatz daitekeenean.

Zatiketa luzea erabil daiteke zenbaki arrazional bat zenbaki-sistema hamartarrean idazteko. Sistema hamartarrean idatzi nahi den zenbaki arrazionala zatiki hamartarra bada, zatiketa luzearen bidez lortutako numerala finitua da eta adierazitako balioa zenbaki arrazionalaren berdina da. Zenbaki arrazionala ez bada zatiki hamartarra, ordea, zatiketak etengabe jarrai dezake; kasu honetan digitu kopuru infinitua beharko litzateke zenbaki arrazionalaren balio erreala numeral baten bidez adierazteko. Hala ere, ondoz ondoko hondar guztiak zatitzailea baino txikiagoak direnez, hondar posibleen kopuru finitu bat baino ez dago. Ondorioz, puntu batetik aurrera digitu-sekuentzia bera etengabe errepikatuko da zatiduran, esate baterako:

${\displaystyle {\frac {1}{81}}=0.012345679012\cdots }$

Kasu honetan 012345679 sekuentzia etengabe errepikatzen da

Aurkakoa ere betetzen da: zenbaki baten adierazpen hamartarraren barruan uneren batean digitu multzo bera etengabe errepikatzen hasten bada, zenbakia arrazionala da.                      

Adibidez, demagun ${\displaystyle x=0,4156156156\cdots }$       dela,

orduan, ${\displaystyle 10000x=4156.156156156\cdots }$ eta ${\displaystyle 10x=4.156156156156\cdots }$ beteko dira.

Beraz, ${\displaystyle 10000x-10x}$ , hau da, ${\displaystyle 9990x=4152.0000\cdots }$ izango da.

Ondorioz, x honela idatz dezakegu: ${\displaystyle x={\frac {4152}{9990}}}$

edo, zenbakitzailea eta izendatzailea 6 zenbakiaz zatituz, ${\displaystyle x={\frac {692}{1665}}}$

Zenbaki-sistema hamartarrean idatzitako zenbakia zatiki moduan idatzi dugu.

Zatiketa moduan adierazi ezin diren zenbakiei irrazionalak deritze. Zenbaki arrazional eta irrazional guztien multzoari zenbaki errealen multzoa deritzo.

Beste sistema batzuekin konparaketa

Zenbaki-sistema bitarra

Zenbaki-sistema bitarra 2an oinarrituriko zenbaki-sistema da. Bi digitu erabiltzen ditu, zero (0) eta bat (1).  Zenbaki-sistema hamartarra bezala, sistema posizionala da. Horrela lortzen da sistema bitarretik sistema hamartarrera pasatzea: digitu guztien balioak batu behar dira. Adibide baten bidez argiago ikus daiteke.^[4]

Adibidea: 01101

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$

Digitua 0 bat bada, ez da ezer gehitzen. Digitua 1 bada, ${\displaystyle 2^{posizioa-1}}$ gehitzen da. Adibidearekin jarraituz:

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
Batura	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1\cdot 2^{4-1}=8}$	${\displaystyle 1\cdot 2^{3-1}=4}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1\cdot 2^{1-1}=1}$

Batura ilarako zenbaki guztiak gehituz: 0+8+4+0+1=13

Zenbaki-sistema bitarrean 01101

Zenbaki-sistema hamartarrean: 13

Zenbaki-sistema oktala

Zenbaki-sistema oktala, zortzia (8) oinarritzat erabiltzen duen zenbaki-sistema da. Sistema honek zortzi digitu erabiltzen ditu: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Balio handiena 7 zenbakiari dagokio. Zenbaki-sistema hamartarra bezala, sistema posizionala da. Horrela lortzen da sistema oktaletik sistema hamartarrera pasatzea: digitu guztien balioak batu behar dira. Adibide baten bidez argiago ikus daiteke. 

Adibidea: 01077

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 7}$

Digitua 0 bat bada, ez da ezer gehitzen. Bestela, ${\displaystyle Digitua\cdot 8^{posizioa-1}}$ gehitzen da. Adibidearekin jarraituz:

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 7}$
Batura	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1\cdot 8^{4-1}=512}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 7\cdot 8^{2-1}=56}$	${\displaystyle 7\cdot 8^{1-1}=7}$

Batura ilarako zenbaki guztiak gehituz: 0+512+0+56+7=575

Zenbaki-sistema oktalean: 01101

Zenbaki-sistema hamartarrean: 575

Zenbaki-sistema hamaseitarra

Zenbaki-sistema hamaseitarra gaur egun informatikan erabiltzen den sistema da. Sistema honek 16 digitu erabiltzen ditu. S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.

Letren balioak honako hauek dira:

Hamaseitarra	Dezimala
A	${\displaystyle 10}$
B	${\displaystyle 11}$
C	${\displaystyle 12}$
D	${\displaystyle 13}$
E	${\displaystyle 14}$
F	${\displaystyle 15}$

Adibidea: 03E0A

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle A}$

Digitua 0 bat bada, ez da ezer gehitzen. Bestela, ${\displaystyle Digitua\cdot 16^{posizioa-1}}$ gehitzen da. Oraingo adibidean:

Posizioa	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
Digitua	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle A}$
Batura	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3\cdot 16^{4-1}=12288}$	${\displaystyle 14\cdot 16^{3-1}=3584}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 10\cdot 16^{1-1}=10}$

Batura ilarako zenbaki guztiak gehituz: 0+12288+3584+0+10 = 15882

Zenbaki sistema hamaseitarrean: 03E0A

Zenbaki sistema hamartarrean: 15882

Munduko hizkuntzen zenbaki-sistemak

Hizkuntza-adierazpenak oinarri aritmetikoaren arabera sailkatzen dira. Zenbakizko adierazpenak ${\displaystyle x\cdot n+y}$ patroiaren arabera eraikitzen dira, non x eta y edozein zenbaki diren eta n oinarria den. Hiru zenbaki-sistema nagusi identifika daitezke: hamartarra, hogeitar purua eta hogeitar-hamartar hibridoa^[5].

Zenbaki-sistema hamartarrean adierazita dauden zenbakiak idazteko erabiltzen den egitura orokorra ${\displaystyle x\cdot 10+y}$ da. Adibide sinple bat txinera mandarina da, non 26 zenbakia hurrengo moduan adierazten den:

èr-shí-līu

two-ten-six

bi-hamar-sei

Zenbaki-sistema hogeitar puruan oinarria (n) 20 da. Zenbakiak eraikitzeko formula orokorra kasu honetan ${\displaystyle x\cdot 20+y}$ da. Diola-Fogny hizkuntza (Senegal) adibide bat da, non 51 zenbakia «bi hogei eta hamaika» moduan adierazten den.

Bukan        ku-gaba        di       uɲɛn         di       b-əkɔn

Twenty    two   and     ten    and    one

Hogei    bi    eta   hamar     eta   bat

Azkenik, komenigarria da sistema hogeitar-hamartar hibrido bat bereiztea, non 99 arteko zenbakiak sistema hogeitarrean adierazten diren, baina ehunekoak adierazteko sistema hamartarra erabiltzen den. Horrela, ${\displaystyle x\cdot 100+y\cdot 20+z}$ motako adierazpena dugu. Euskaraz, izan ere, oinarri hau erabiltzen da. Hona hemen 38, 77 eta 256 zenbakien euskal adierazpena, hurrenez hurren:

Hogei-ta       hama-zortzi    

Twenty-and        ten-eight

Hirur-ogei-ta     hama-zazpi

Three-twenty-and      ten-seven

Berr-eun      eta      berr-ogei-ta-hama-sei

Two-hundred     and     two-twenty-and-ten-six

10 eta 20 ez diren beste oinarri batzuk ere erabiltzen dira, oso gutxitan bada ere, munduko hizkuntzen artean. Ekari hizkuntzak (Trans-Ginea Berria; Papua, Indonesia) n=60 oinarria erabiltzen du. 71ren adierazpena oinarri honetan:

Èna     ma      gàati       dàimita     mutò

One    and       ten            and          sixty

Bat     eta      hamar         eta      hirurogei