![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_1.svg/langfa-640px-Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_1.svg.png&w=640&q=50)
توابع معکوس مثلثاتی
توابع وارون مثلثاتی / From Wikipedia, the free encyclopedia
توابع معکوس مثلثاتی در ریاضیات، معکوس تابعهای مثلثاتیاند که طبق تعریف تابع وارون، بُرد آنها زیرمجموعهٔ دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که تابعهای مثلثاتی هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای اینکه وارون آنها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آنها را محدود کرد (نگاه کنید به آزمون خط افقی).
برای نمونه اگر تعریف کنیم یا به شکل دیگر
آنگاه
است اما به ازای یک x یکتا میتوان چندین y پیدا کرد که به ازای آن
شود، مانند y مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آنها مقدار سینوس یا x برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin یا
میتواند چندین جواب داشته باشد
درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابعهای وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار میدهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
نمایش توابع معکوس مثلثاتی به فرم مشابه (سینوساینورس) برای اولین بار توسط جان هرشل در سال ۱۸۱۳ به کار برده شد. این فرم را نباید با مقدار
اشتباه گرفت؛ چرا که اولی به معنای تابع وارون (گرفته شده از نماد
) و دومی به معنای عکس مقدار سینوس است.
همچنین Arc به معنای "قوس" یا کمانی است که مقدار نسبت مثلثاتی آن معلوم است.
تابعهای اصلی در جدول زیر آورده شدهاند:
نام | نماد ریاضی | تعریف | دامنۀ تابع
(بازهٔ x برای خروجیهای حقیقی) |
برد تابع (رادیان) |
برد تابع (درجه) |
---|---|---|---|---|---|
آرکسینوس
یا سینوساینورس |
|||||
آرککسینوس
یا کسینوساینورس |
|||||
آرکتانژانت
یا تانژانتاینورس |
تمامی اعداد حقیقی | ||||
آرککتانژانت
یا کتانژانتاینورس |
تمامی اعداد حقیقی | ||||
آرکسکانت
یا سکانتاینورس |
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x | ||||
آرککسکانت
یا کسکانتاینورس |
x ≤ −۱ یا ۱ ≤ x | ||||
برخی تعاریف:
- آرکسینوس (سینوساینورس) یک عدد مفروض زاویهای است که سینوس آن برابر آن عدد مفروض است
- آرککسینوس (کسینوساینورس) یک عدد مفروض زاویهای است که کسینوس آن برابر آن عدد مفروض است
- آرکتانژانت (تانژانتاینورس) یک عدد مفروض زاویهای است که تانژانت آن برابر آن عدد مفروض است
- آرککتانژانت (کتانژانتاینورس) یک عدد مفروض زاویهای است که کتانژانت آن برابر آن عدد مفروض است.[1]