قضیه اقلیدس
From Wikipedia, the free encyclopedia
قضیهٔ اقلیدس (به انگلیسی: Euclid's theorem) بیان میکند که تعداد اعداد اول، نامتناهی است. این قضیه به روشهای مختلفی اثبات شدهاست. اقلیدس این قضیه را در کتاب اصول اقلیدس اثبات کردهاست.[1] اثباتی براساس برهان خلف به شرح زیر است:
به برهان خلف فرض کنید که تعداد اعداد اول، نامتناهی نباشد. یعنی متناهی و محدود باشد و تنها عدد اول به شکل داشته باشیم. حاصلضرب این عدد اول را مینامیم:
سپس حاصلجمع آنها با یک را مینامیم: . چون از همۀ اعداد اول تا بزرگتر است، پس طبق فرض خلف، نمیتواند اول باشد. در نتیجه مرکب است. از آنجایی که هر عدد مرکب حداقل یک شمارندۀ اول دارد[2]، پس باید بر یکی از اعداد اول تا بخشپذیر باشد. این عدد را در نظر بگیرید. پس هم و هم بر بخشپذیر هستند. در نتیجه تفاضل آنها یعنی نیز بر بخشپذیر است. اما این ممکن نیست؛ زیرا برابر با یک است و عدد یک بر هیچ عدد اولی بخشپذیر نیست. پس فرض خلف باطل شد و در نتیجه تعداد اعداد اول، نامتناهی است.