چندضلعی ستاره‌ای

یک چندضلعی ستاره‌ای منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای

{۵/۲} {۷/۲} {۷/۳} {۸/۳} {۹/۲} {۹/۴} {۱۰/۳} ...
نماد اشلفلی ${\displaystyle 2<2q<p}$ gcd(p,q)=۱	{p/q}
رأس‌ها و اضلاع	p
چگالی	q
گروه تقارن	دوسطحی (Dp)
چندضلعی همزاد	خودهمزاد
اندازه زاویه داخلی (درجه)	${\displaystyle {\frac {180(p-2q)}{p}}}$[1]

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود.^[2] در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند. برای اعداد صحیح p و q، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود.^[3] نماد چنین چندضلعی {p/q} بوده که معادل {p/p-q} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که p و q متباین باشند.

محیط و مساحت

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

five-pointed regular star area

${\displaystyle A_{star}=A_{polygon}+n\times (A_{triangle})={nb^{2} \over 4tan(\pi /n)}+{na^{2} \over 2}sin(\gamma )}$

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos\gamma =2a^{2}(1-cos\gamma )}$

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

${\displaystyle A_{star}={na^{2}(1-cos\gamma ) \over 2tan(\pi /n)}+{na^{2}sin\gamma \over 2}={na^{2} \over 2}({1-cos\gamma \over tan(\pi /n)}+sin\gamma )}$

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

${\displaystyle \gamma =\pi -{4\pi \over n}}$

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

${\displaystyle sin\gamma =sin(\pi -{4\pi \over n})=sin({4\pi \over n})}$

${\displaystyle cos\gamma =cos(\pi -{4\pi \over n})=-cos({4\pi \over n})}$

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

${\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{1+cos(4\pi /n) \over tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]}$

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

${\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n) \over sin(\pi /n)}]}$

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

${\displaystyle A_{star}={na^{2} \over 2}[{2cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]={na^{2}cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]}$

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.^[4]

پانویس

1. Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
2. Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). Regular polytopes. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9.
3. Weisstein, Eric W. "Star Polygon". MathWorld.
4. «بررسی هندسی شکل ستاره منتظم». رشد برهان ریاضی. ۲۷ (۱۰۶): ۱۰–۱۲. دی ۱۳۹۶.