اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)

در نظریه مجموعه‌ها، اجتماع (به انگلیسی: union) که با نماد ∪ نشان‌داده می‌شود، برای یک گردآورد از مجموعه‌ها برابر مجموعه همه عناصر در آن گردآورد است.^[۱] این عمل یکی از عملیات بنیادین است که از طریق آن می‌توان مجموعه‌ها را ترکیب کرد و با هم مرتبط نمود. یک اجتماع پوچ به اجتماع مجموعه‌های صفر (${\displaystyle 0}$) اشاره دارد و طبق تعریف برابر مجموعه تهی است.

اجتماع دو مجموعه:
${\displaystyle ~A\cup B}$

اجتماع سه مجموعه:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

اجتماع A، B، C، D، و E برابر همه چیز بجز مساحت سفید است.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر ${\displaystyle A\in S}$ داشته باشیم ${\displaystyle A\subseteq C}$.

اجتماع همه اعضای S که آن را با ${\displaystyle \bigcup S}$ یا ${\displaystyle \bigcup _{A\in S}A}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\exists A\in S,x\in A\}}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، ${\displaystyle \bigcup \{A,B\}}$ را با ${\displaystyle A\cup B}$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با ${\displaystyle A\cup B\cup C}$،... و اجتماع n مجموعه ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ را با ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}}$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n-1})\cup A_{n}}$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی ${\displaystyle A\cup B}$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع ${\displaystyle A\cup B}$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle A\cap B}$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

${\displaystyle A\cup A=A}$

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$

${\displaystyle A\cup \phi =\phi \cup A=A}$

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

جستارهای وابسته

• اشتراک (مجموعه)