درون (توپولوژی)

در ریاضیات، درونِ مجموعه‌ای مانند S در یک فضای توپولوژیک، شامل تمام نقاط S است که به مرز آن تعلق ندارند. نقطهٔ p یک نقطهٔ درونی مجموعهٔ S است هرگاه یک همسایگی (گوی باز) از p مانند N وجود داشته باشد بطوری که N ⊂ S.‏^[۱][۲] مجموعهٔ نقاط درونی S را با ^°S نمایش می‌دهیم.^[۳]

نقطهٔ x یک نقطهٔ درونی مجموعه S و نقطهٔ y نقطه‌ای بر روی مرز مجموعه S است.

دانستنی‌ها

فرض کنیم X یک فضای متری و S ⊂ X و A و B نیز دو زیرمجموعه X:

• S باز است هرگاه هر نقطهٔ S یک نقطهٔ درونی‌اش باشد.^[۴]
• ^°S مجموعه‌ای باز است.
• ^°S بزرگترین مجموعه بازی است که جزء S می‌باشد.^[۵]
• S باز است اگر و تنها اگر S = S^°‏.
• (S^°)^° = S^° و (A ∩ B)^° = A^° ∩ B^°.
• A^° ∪ B^° ⊆ (A ∪ B)^°.‏^[۶]

مثال‌ها

• اگر X فضای اقلیدسی ${\displaystyle \mathbb {R} }$ از اعداد حقیقی باشد، آنگاه [۰,۱]^°= (۰,۱).‏^[۷]
• اگر X فضای اقلیدسی ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ازاعداد حقیقی باشد، آنگاه درون ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (مجموعه اعداد گویا)، تهی می‌شود.

جستارهای وابسته

• درگاه ریاضیات

• نقطه حدی