متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر

متریک رابرتسون-واکر حل دقیقی از معادلات میدان اینشتین در نسبیت عام است. این حل جهان را فضایی همگن، همسانگرد و در حال انبساط توصیف می‌کند و بر اساس تلاش چهار فیزیکدان: الکساندر فریدمان، جورج لومتر، هوارد رابرتسون و آرتور واکر توصیف شد.

متریک

فرض اولیه این متریک همسانگردی و همگنی فضاست. همچنین فرض وابسته بودن مؤلفه‌های فضایی به زمان نیز اعمال می‌شود:

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$

که در آن:

• k ثابت انحنای فضاست که نسبت به زمان ثابت است.
• و ‎${\displaystyle a(t)\;}$‏ عامل مقیاس است که به طور صریح وابسته به زمان است.
• و سرعت نور در ${\displaystyle r=0\;}$ برابر است با: ${\displaystyle c \over a(t)}$

به طور معمول در دستگاه مختصات کروی ${\displaystyle 0\leq r\;}$ و ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi$ ;\,} و ${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$ است.

حل‌ها

این متریک حلی از معادلات میدان اینشتین ${\displaystyle G_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$ منجر به معادلات فریدمان می‌شود که در آن تنسور ضربه-انرژی همسانگرد و همگن فرض می‌شود. حل آن معادلات چنین است:

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }$ ${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}p.}$

این معادلات پایهٔ نظریه کیهان‌شناختی مهبانگ است. در متریک رابرتسون-واکر-لنارتی جهان در حال انبساط است و نقطه شروع آن را مهبانگ فرض می‌کنند.

جستارهای وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• معادلات فریدمان
• مدل میلن
• متریک شوارتزشیلد