مشتق جهت‌دار

در ریاضیات، مشتق سویی یا مشتق جهتی یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره در راستای یک بردار ${\displaystyle \mathbf {v} }$ در نقطهٔ ${\displaystyle \mathbf {x} }$، به‌طور شهودی نشان‌دهندهٔ نرخ تغییرات لحظه‌ای آن تابع در حال عبور از نقطهٔ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ با سرعتی معادل با بردار ${\displaystyle \mathbf {v} }$ است. بنابراین، مشتق جهت‌دار، مفهوم مشتق پاره‌ای را که در آن نرخ تغییرات در راستای یکی از محورهای مختصات خمیده‌خط با ثابت در نظر گرفتن سایر مختصات محاسبه می‌شود، تعمیم می‌دهد.

تعریف

مشتق جهت‌دار یک تابع نرده‌ای ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ در راستای بردار ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ تابعی است که با حد زیر تعریف می‌شود:^[۱][۲]

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}}$

اگر تابع ${\displaystyle f}$ در نقطهٔ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ مشتق‌پذیر باشد، سپس مشتق جهت‌دار آن در این نقطه، در راستای هر بردار ${\displaystyle \mathbf {v} }$ وجود داشته و می‌تواند از رابطهٔ زیر محاسبه شود:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$

که ${\displaystyle \nabla }$ در طرف راست معادلهٔ بالا، نشان‌دهندهٔ گرادیان و «${\displaystyle \cdot }$» ضرب داخلی است.

نماد

مشتق جهت‌دار با نمادهای زیر نشان داده می‌شود:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\sim {\frac {\partial {f(\mathbf {x} )}}{\partial {v}}}\sim f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )\sim D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\sim \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}}$

ویژگی‌ها

بسیاری از ویژگی‌های مشتق معمولی در مورد مشتق جهت‌دار هم برقرارند. به عنوان مثال، برای توابع ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ که در همسایگی نقطهٔ ${\displaystyle p}$ تعریف شده و مشتق‌پذیر باشند، روابط زیر برقرار است:

1. قاعده جمع:

${\displaystyle \nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g}$

1. قاعده ضریب ثابت:

${\displaystyle \nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f}$

1. قاعده ضرب:

${\displaystyle \nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g}$

1. قاعده زنجیری: اگر تابع ${\displaystyle g}$ در ${\displaystyle p}$ و تابع ${\displaystyle h}$ در ${\displaystyle g(p)}$ مشتق‌پذیر باشند، آن‌گاه:

${\displaystyle \nabla _{v}h\circ g(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)}$