مشتق جزئی

مشتق پاره‌ای یا مشتق جزئی، در مورد توابع چند متغیره، به مشتق تابع نسبت به یکی از متغیرها با ثابت نگه‌داشتن سایر متغیرها گفته می‌شود.

مشتق جزئی تابع f نسبت به متغیر x به یکی از صورت‌های زیر نمایش داده می‌شود:

${\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ f_{,x},\ \partial _{x}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

از ∂ به عنوان نماد مشتق جزئی استفاده می‌شود. این نماد توسط آدرین-ماری لژاندر ابداع شد و پس از معرفی توسط کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی عمومیت یافت.

اگر تابع f را به صورت زیر تعریف کنیم،

${\displaystyle f(x,y)=\,\!3x^{2}+5xy-2y^{4}.\,}$

آنگاه مشتق f نسبت به x می‌شود:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=6x+5y}$

و مشتق f نسبت به y خواهد بود:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=5x-8y^{3}}$