بافه (ریاضیات)
From Wikipedia, the free encyclopedia
در ریاضیات، بافه (به انگلیسی: Sheaf) ابزاری برای ردگیری سازمانیافتهی اطلاعات موضعی تعریف شده و الصاق شده به مجموعه های باز یک فضای توپولوژیکی است. این داده ها را می توان به مجموعه های باز کوچکتری تحدید کرد، و داده های مربوط به یک مجموعه باز معادل کل گردایه دادههای سازگار مربوط به مجموعه های باز کوچکتری است که مجموعه قبلی را می پوشانند. به عنوان مثال، چنین داده هایی می تواند شامل حلقه توابع پیوسته یا حقیقی-مقدار همواری باشد که روی هر مجموعه باز تعریف شده است. طراحی بافه ها به گونه ای است که اشیائی کلی و مجرد باشند، به گونه ای که تعریف صحیحشان تکنیکی و فنی می شود. آن ها را می توان به طرق مختلفی تعریف کرد، به عنوان مثال، بسته به این که بافه مورد نظر اطلاعات مجموعه ها را در خود نهفته باشد یا حلقهها، تعریف متفاوتی می تواند داشته باشد.
همچنین نگاشت هایی (یا ریخت هایی) از یک بافه به دیگری می توان تعریف کرد، لذا بافه ها (بافه هایی از نوع خاص، مثلا بافه گروه های آبلی) به همراه ریخت هایشان تشکیل یک رسته می دهند. از سوی دیگر، به هر نگاشت پیوسته هم یک فانکتور تصویر مستقیم نظیر می شود که هر بافه و ریخت هایش را در دامنه به بافه ها و ریخت های متناظر در همدامنه نظیر می کند، و هم یک فانکتور تصویر معکوس که در جهت مخالف عمل می کند. چنین فانکتور ها و انواع مشابه آن بخش مهمی را در نظریه بافهها اشغال می کنند.
بافه ها به دلیل طبیعت عمومی و تنوعشان کاربردهای متعددی در توپولوژی و بهخصوص هندسه جبری و دیفرانسیل پیدا کرده اند. اول این که ساختار های هندسی چون منیفلد دیفرانسیل یا یک اسکیم را می توان بر حسب یک بافه از حلقه ها روی آن فضا تعریف کرد. در چنین بسترهایی، سازههای هندسی متعددی چون کلاف های برداری یا مقسومعلیه ها (مفهومی مربوط به هندسه جبری) را می توان به طور طبیعی بر حسب بافه ها تعریف کرد. دوم این که بافهها چارچوبی برای نظریات کوهمولوژی بسیار عامتر فراهم میکنند، چنین نظریه عامی شامل نظریات کوهمولوژی "معمولی" مثل کوهمولوژی تکین هم می شود. بهخصوص کوهمولوژی بافه در هندسه جبری و نظریه منیفلدهای مختلط، ارتباط مستحکمی بین خواص توپولوژیکی و هندسی فضاها ایجاد می کند. بافهها همچنین پایه ای برای نظریه D-مدولها فراهم می آورد که در نظریه معادلات دیفرانسیل کاربرد دارد. به علاوه، تعمیم بافه ها به چیدمانهایی فراتر از فضاهای توپولوژیکی، چون توپولوژی گروتندیک، کاربردهایی را در منطق ریاضی و نظریه اعداد ارائه داده است.