بیضی
شکل هندسی / From Wikipedia, the free encyclopedia
در هندسه، بیضی یک منحنی مسطح و بستهاست که دو کانون دارد و حاصل جمع فاصلهٔ هر نقطه روی محیط آن با دو کانونش مقدار ثابتی است. شکل بیضی (مقدار کشیده بودنش) با مقدار برونمرکزی آن مشخص میشود. برونمرکزیِ بیضی عددی بین صفر و یک است و هر چه کوچکتر باشد کشیدگی بیضی کمتر است. اگر برونمرکزی بیضی صفر باشد، دو کانون آن روی هم میافتند و منحنی تبدیل به دایره (که حالت خاص بیضی است) میشود. بیضی را همچنین میتوان با عنوان «مقطع مخروطی بسته» تعریف کرد. مقطع مخروطی منحنیای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار میشود. گونههای دیگر مقاطع مخروطی (سهمی و هذلولی) بازند و کراندار نیستند.
از سلسله مقالاتی دربارهٔ مقاطع مخروطی | |
سهمی | |
---|---|
معادله | |
گریز از مرکز () | |
نیمراستوتر کانونی () | |
هذلولی | |
معادله | |
گریز از مرکز () | |
نیمراستوتر کانونی () | |
بیضی | |
معادله | |
گریز از مرکز () | |
نیمراستوتر کانونی () | |
دایره (حالت خاص بیضی) | |
معادله | |
گریز از مرکز () | |
نیمراستوتر کانونی () | |
• • • | |
قضایا و ویژگیهای بیضی را نخستین بار ریاضیدانان یونان باستان، به ویژه ارشمیدس و آپولونیوس مطالعه کردند. در دوران طلایی اسلام، ریاضیدانانی چون اخوان ثلاثهٔ بنوموسی و ابوسهل بیژن کوهی مطالعات نظری و عملی مربوط به بیضی را ادامه دادند. نقاشان رنسانس هم روشهایی برای ترسیم بیضی ابداع کردند. در اوایل قرن هفدهم میلادی کپلر کشف کرد که سیارات در مداری بیضوی به دور خورشید میگردند و خورشید همواره روی یکی از کانونهای این بیضی قرار دارد. ریاضیدانان فرانسوی، ژرار دوسارگ، بلز پاسکال، رنه دکارت، و فیلیپ دو لا هیر نیز با ترکیب مساعی یونانیان باستان با نمادهای جبری، مقاطع مخروطی را در هندسه تحلیلی مطالعه کردند. قضایای آپولونیوس در باب مماس بر مقاطع مخروطی راهنمای نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال بود. همچنین نیوتن و هالی به روش علمی ثابت کردند که دنبالهدار هالی در مداری بیضوی به دور خورشید میگردد. در قرن نوزدهم میلادی هم ریاضیدانانی چون ژان ویکتور پونسله و یاکوب اشتاینر مقاطع مخروطی را با رویکردی تصویری بازتعریف کردند.
ویژگیهای بیضی در فیزیک، مهندسی و اخترشناسی کاربردهای وسیعی دارد؛ مثلاً مدار هر یک از سیارههای منظومه شمسی و قمرهای سیارات به شکل بیضی است، یا اینکه با استفاده از ویژگی «نیمساز عمود زاویهٔ بین دو خط کانونی» میتوان آینههایی برای تمرکز نور یک منبع در یک کانون ساخت یا طراحی آکوستیک تالارها را بهینه کرد. همچنین از چرخش بیضی به دور قطرهای بزرگ و کوچکش، گویوار کشیده یا پَخ حاصل میشود. چنانکه نیوتن کشف کرد، سیارهها (از جمله زمین) کره نیستند و غالباً شکلی گویوار دارند.
در گذر تاریخ روشهای متعددی برای ترسیم دقیق یا تقریبی بیضی ابداع شدهاست که از آن میان میتوان به روش باغبانی، استفاده از خاگار، و تولید مخروطی اشتاینر اشاره کرد. همچنین از آنجا که برای محاسبهٔ محیط بیضی فرمولی با فرم بسته وجود ندارد و باید از حسابان استفاده کرد، فرمولهای پرشماری برای تخمین این مقدار ارائه شدهاست.