Kompleksiluku
reaalilukujen luonnollinen laajennus / From Wikipedia, the free encyclopedia
Kompleksilukujen joukko on reaalilukujen joukon luonnollinen laajennus.
Kompleksiluku z on muotoa
jossa x ja y ovat reaalilukuja ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee .[1][2][3] Lukua x kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi (Re(z)) ja lukua y vastaavasti sen imaginaariosaksi (Im(z)).[3]
Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: .[3] Jos , kompleksilukua kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.
Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria.[3] Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, sillä on positiivinen kaikilla reaalisilla :n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut ja .
Kompleksilukuja hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla.[4][5] Sähkötekniikassa kompleksiluvun imaginaariyksikkö merkitään kirjaimella j.[4][6][7]