matemaattisessa analyysissa eräs integraali From Wikipedia, the free encyclopedia
Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali.[1] Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä . Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.
Olkoon mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.
Kuvaus on yksinkertainen, jos
missä ; ja joukot ovat perusjoukon ositus ja on indikaattorifunktio.
Yksinkertaisen funktion integraali on
Olkoon kuvaus, joka on -mitallinen. Kuvauksen integraali on
Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
Kuvauksen integraali yli joukon on
Kuvaus on integroituva, jos pätee ehto
on integroituva yli joukon , jos pätee
on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee
Oletetaan, joukko , ja ovat -mitallisia kuvauksia ja integroituvia yli joukon .
Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.
Jos lisäksi , ja ovat erillisiä sekä on -mitallisia kuvaus ja integroituva yli joukon , niin
Olkoon mitta-avaruus, täydellinen mitta ja luku . Merkitään eksponentilla integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
on siis integroituva jos ja vain jos . Sanotaan, että on neliöintegroituva, jos .
Ominaisuuksia:
Jos ja siten, että
sekä ja , niin Hölderin epäyhtälö on
Jos ja , niin epäyhtälö pätee muodossa
Lukuja ja kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.
Jos , niin . Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus on vakaa yhteenlaskun suhteen.
Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia . Tällöin
ja
Olkoon joukko ja jono -mitallisia kuvauksia siten, että jonon raja-arvo
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jos pätee , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jos on olemassa integroituva kuvaus siten, että kaikilla melkein kaikkialla joukolla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.
Jos ja kaikilla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.
Jokaiseen mitta-avaruuden mitalliseen kuvaukseen voidaan liittää mittaintegraali yli jokaisen joukon . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus
on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.
Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).
Usein esiintyviä integraaleja:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.