From Wikipedia, the free encyclopedia
Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä
joukko tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja tarkoittaa maalijoukkoa. [1]
Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:
Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.
Arvojoukko on maalijoukon osajoukko.
Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa ainakin yksi määrittelyjoukon alkio.
Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti
Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut , joka on reaalilukujen osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan , kun . Tämä ei toteudu funktiolla , sillä esimerkiksi . Surjektion määritelmän mukaan on surjektio, jos eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:
Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti
Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).
Kolmannen asteen potenssifunktio
on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.
Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio on määritelty
ja funktio on määritelty
Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio
Funktion arvot lasketaan ensin ja sitten avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta ja lasketaan se funktion lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon arvo. Saatu arvo sijoitetaan funktion f lausekkeeseen, jolloin saadaan maalijoukon arvo.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.