Alkio (joukko-oppi)

Alkio (myös elementti tai jäsen) on joukko-opissa joukon sisältämä objekti.

Joukko-oppi ja alkiot

Joukossa A = {1, 2, 3, 4} on neljä alkiota: 1, 2, 3 ja 4. Näiden muodostamat ryhmät, esimerkiksi {1, 2} ja {3}, ovat A:n osajoukkoja.

Joukon alkiot voivat olla mitä tahansa olioita. Esimerkiksi joukossa C = {Kasper, Jesper, Joonatan} on kolme alkiota: Kasper, Jesper ja Joonatan. Joukon alkiot voivat olla myös joukkoja. Esimerkiksi joukon B = {1, 2, {3, 4} } alkiot eivät ole 1, 2, 3 ja 4, vaan joukossa on kolme alkiota: luvut 1 ja 2 sekä joukko {3, 4}.

Merkitseminen

Relaatiota "kuuluu joukkoon" merkitään merkillä ∈. Esimerkiksi x ∈ A tarkoittaa, että x on joukon A alkio. Voidaan myös sanoa, että "x on joukossa A" tai "A sisältää x:n". Jos x ei kuulu joukkoon A, se merkitään x ∉ A.

Tyhjä joukko on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota. Tyhjää joukkoa merkitään ${\displaystyle \varnothing }$:lla tai ${\displaystyle \{\}}$:lla.

Joukkojen mahtavuus

Joukon alkioiden lukumäärää kutsutaan mahtavuudeksi. Esimerkiksi edellä määritellyn joukon A mahtavuus on 4, joukkojen B ja C taas 3. Joukon mahtavuus voi olla myös ääretön. Tällainen joukko on esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko.

Esimerkkejä

Yllä olevien joukkojen mukaisesti:

• 2 ∈ A
• {3, 4} ∈ B
• {3, 4} on joukon B alkio
• 3 ∉ B
• Joukon D = {2, 4, 6, 8, 10, 12} mahtavuus on 6.
• Joukon P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (alkuluvut) mahtavuus on ääretön.

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9
• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6