Eksponenttifunktion sarjakehitelmä

Eksponenttifunktion sarjakehitelmä muuttujan x potenssisarjana on muotoa

${\displaystyle e^{x}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}x^{n}}}$^[1]

Kertoimet ${\displaystyle a_{n}}$ voidaan määrittää tarkastelemalla myös eksponenttifunktion derivaatan ${\displaystyle de^{x}/dx}$

sarjakehitelmää

${\displaystyle {de^{x} \over dx}=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}nx^{n-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}nx^{n-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n+1}(n+1)x^{n}}}$

Mutta koska eksponenttifunktion määritelmän perusteella

${\displaystyle {de^{x} \over dx}=e^{x}}$,

saadaan rekursioyhtälö

${\displaystyle a_{n+1}={a_{n} \over {n+1}}}$,

alkuarvolla ${\displaystyle a_{0}=e^{0}=1}$.

Kertoimet ovat siis ${\displaystyle a_{0}=1}$, ${\displaystyle a_{1}=1}$, ${\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle a_{3}={\frac {1}{2\cdot 3}}={\frac {1}{6}}}$, ${\displaystyle a_{4}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}={\frac {1}{24}}}$ ja niin edelleen. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa kertoman avulla muodossa ${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n!}}}$.

Kantaluvun ${\displaystyle e}$ eksponenttifunktio voidaan siten määritellä päättymättömänä potenssisarjana seuraavasti:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots }$

Tässä määritelmässä ${\displaystyle n}$ on luonnollinen luku, ${\displaystyle x}$ on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja ${\displaystyle n!}$ on kertoma.

Katso myös

• Eksponenttifunktio