Modulimuoto

Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella ${\displaystyle f(z)\Rightarrow f((az+b)/(cz+d))}$.

Esimerkki

Dedekindin eetafunktio määritellään

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.}$

Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)²⁴ on modulimuoto.

Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä

Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$ niin että ${\displaystyle \left|\varepsilon (a,b,c,d)\right|=1}$ ja

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

Funktiot muotoa ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$ tunnetaan automorfisina kertoimina.

Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.

Formaali määritelmä

Kirjassa^[1] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon ${\displaystyle N}$ positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä ${\displaystyle X_{0}(N)}$ on tasoa ${\displaystyle N}$ oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä ${\displaystyle X_{0}(N)}$ on tasoa ${\displaystyle N}$ oleva ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-kertoiminen modulimuoto.

Kirjassa^[2] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon ${\displaystyle k}$ kokonaisluku. Meromorfinen funktio ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ on heikosti modulaarinen painolla ${\displaystyle k}$ jos ${\displaystyle f(\gamma (\tau ))=(c\tau +t)^{k}f(\tau )}$ kun ${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ja ${\displaystyle \tau \in {\mathcal {H}}}$.

Funktio ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ on modulimuoto painolla ${\displaystyle k}$, jos ${\displaystyle f}$ on holomorfinen sekä ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$:ssa että ${\displaystyle \infty }$:ssä ja ${\displaystyle f}$ on heikosti modulaarinen painolla ${\displaystyle k}$