Planckin yksiköt

Planckin yksiköt on Max Planckin vuonna 1899 esittelemä luonnollinen yksikköjärjestelmä, joka perustuu neljään seuraavassa taulukossa esitettyyn luonnonvakioon.

Vakio	Symboli	Dimensio	Suuruus SI-yksikköinä
valonnopeus	${\displaystyle {c}\ }$	L T −1	299 792 458 m/s
gravitaatiovakio	${\displaystyle {G}\ }$	M−1L3T −2	6,67428 · 10-11 m3 kg−1 s−2
Redusoitu Planckin vakio	${\displaystyle \hbar }$	ML2T −1	1,054571628 · 10-34 Js
Boltzmannin vakio	${\displaystyle {k}\ }$	ML2T −2Θ−1	1,380649 · 10-23 J/K

Planckin yksikköjärjestelmässä kaikki nämä luonnonvakiot saavat arvon 1 yksikköjärjestelmän perusyksiköissä esitettynä. Vakiot liittyvät fysiikan perusteorioihin: c suhteellisuusteoriaan, G Newtonin gravitaatioteoriaan ja yleiseen suhteellisuus­teoriaan, ħ kvanttimekaniikkaan ja k_B statistiseen mekaniikkaan ja termodynamiikkaan. Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksin­kertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. Erityisen suuri merkitys niillä on kehiteltäessä yhtenäis­teorioita kuten kvanttigravitaation teoriaa.

Planckin yksiköt eivät alkuperäisessä muodossaan sisällä sähkömagneettisia yksiköitä, esimerkiksi varauksen tai sähkövirran yksiköitä. Eräät yksikköjärjestelmän laajennokset määrittelevät sähkömagneettiset yksiköt siten että joko tyhjiön permittiivisyys ε₀ tai 4πε₀ saa arvon 1.

Perusyksiköt

Mittayksikköjärjestelmissä suureet esitetään vertaamalla niitä johonkin referenssisuureeseen eli yksikköön. Esimerkiksi SI-järjestelmässä pituuden referenssisuure on pituuden perusyksikkö metri. Luonnollisissa järjestelmissä, kuten Planckin järjestelmässä luonnonvakioita vastaavien suureiden referenssinä käytetään luonnonvakioita itseään, jolloin luonnonvakiot saavat yksikköjärjestelmän koherenteissa yksiköissä ilmaistuna arvon 1. Muut järjestelmän yksiköt rakennetaan luonnonvakioista peruslaskutoimitusten avulla. Planckin järjestelmän perussuureet ovat pituus, aika, massa ja lämpötila.^[1] Järjestelmän mukaista pituuden yksikköä sanotaan Planckin pituudeksi, aika­yksikköä Planckin ajaksi ja niin edelleen.

Perussuureiden Planckin yksiköt

Suure	Yksikkö	Lauseke perusvakioiden avulla	Suuruus SI-järjestelmän yksikköinä ja sen epätarkkuus[2]
Pituus	Planckin pituus	${\displaystyle l_{P}={\sqrt {\frac {G\hbar }{c^{3}}}}\;}$	1,616252(81) · 10-35 m
Aika	Planckin aika	${\displaystyle t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\;}$	5,39124(27) · 10-44 s
Massa	Planckin massa	${\displaystyle m_{P}={\sqrt {c\hbar /G}}\;}$	2,17644(11) · 10-8 kg
Lämpötila	Planckin lämpötila	${\displaystyle T_{P}={\frac {\sqrt {c^{5}{\frac {\hbar }{G}}}}{k}}}$	1,415 · 1032 K

Johdannaisyksiköt

Perusyksiköistä voidaan johtaa yksiköt myös johdannaissuureille. Muutamien johdannais­suureiden yksiköiksi saadaan Planckin järjestelmässä jokin edellä luetelluista perus­vakioista.

Johdannaissuureiden yksiköitä ovat esimerkiksi seuraavat:

Suure	Yksikkö	Lauseke	Suuruus SI-yksikköinä
Pinta-ala	Planckin pinta-ala	${\displaystyle A_{P}=l_{P}^{2}={\frac {G\hbar }{c^{3}}}\;}$	2,61227 · 10-70 m2
Tilavuus	Planckin tilavuus	${\displaystyle l_{P}^{3}=\left({\frac {\hbar G}{c^{3}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4,22419 · 10-105 m3
Tiheys	Planckin tiheys	${\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\;}$	5,1 · 1096 kg/m3
Nopeus	Valonnopeus	c	299 792 458 m/s
Liikemäärä	Planckin liikemäärä	${\displaystyle m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}}$	6,52485 Ns
Pyörimismäärä	Redusoitu Planckin vakio	${\displaystyle \hbar }$	1,054571628 · 10-34 Js
Voima	Planckin voima	${\displaystyle F_{P}={\frac {m_{P}l_{P}}{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{4}}{G}}\;}$	1,210 · 1044 N
Paine	Planckin paine	${\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\;}$	4,635 · 10113 P
Energia	Planckin energia	${\displaystyle E_{P}=F_{P}l_{P}=c^{2}{\sqrt {\frac {c\hbar }{G}}}}$	1,956 · 109 J
Teho	Planckin teho	${\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}\;}$	3,629 · 1052 W
Lämpökapasiteetti ja entropia	Boltzmannin vakio	k	1,380649 · 10-23 J/K

Planckin yksiköt ja fysiikan perusyhtälöt

Eri dimensiota olevia fysikaalisia suureita, kuten pituutta ja aikaa, ei voida suoraan verrata toisiaan. Teoreettisessa fysiikassa käytetään kuitenkin usein nondimensionalisaatioksi nimitettyä menetelmää, jolla eri suureet saadaan vertailu­kelpoisiksi ja joka perustuu oleellisesti Planckin yksikköihin. Alla oleva taulukko osoittaa, miten Planckin järjestelmä yksin­kertaistaa monia fysiikan perus­yhtälöitä verrattuna niiden tavan­omaisiin, esi­merkiksi SI-yksiköissä esitettäviin muotoihin.

Planckin yksiköillä yksinkertaistettuja fysiikan yhtälöitä

	Tavanomainen muoto	Nondimensionalisoitu muoto
Newtonin gravitaatiolaki	${\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$
Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$
Massan ja energian ekvivalenssi suppeassa suhteellisuusteoriassa	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ }$	${\displaystyle {E=m}\ }$
Lämpöenergia hiukkasta ja vapausastetta kohti	${\displaystyle {E={\frac {k_{B}T}{2}}}\ }$	${\displaystyle {E={\frac {T}{2}}}\ }$
Boltzmannin lauseke entropialle	${\displaystyle {S=k_{B}\ln \Omega }\ }$	${\displaystyle {S=\ln \Omega }\ }$
Planckin relaatio energian ja kulmataajuuden välillä	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ }$	${\displaystyle {E=\omega }\ }$
Mustan kappaleen säteilyä koskeva Planckin laki	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}~{\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T}}-1}}}$	${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}}{4\pi ^{3}}}~{\frac {1}{e^{\omega /T}-1}}}$
Stefanin-Boltzmannin vakio σ (määritelmä)	${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}}$	${\displaystyle \ \sigma =\pi ^{2}/60}$
Bekensteinin–Hawkingin lauseke mustan aukon entropialle[3]	${\displaystyle S_{BH}={\frac {A_{BH}k_{B}c^{3}}{4G\hbar }}={\frac {4\pi Gk_{B}m_{BH}^{2}}{\hbar c}}}$	${\displaystyle S_{BH}=A_{BH}/4=4\pi m_{BH}^{2}}$
Schrödingerin yhtälö	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\dot {\psi }}(\mathbf {r} ,t)}$
Schrödingerin yhtälö Hamiltonin operaattorin avulla	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\hbar \partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t}$	${\displaystyle H\left|\psi _{t}\right\rangle =i\partial \left|\psi _{t}\right\rangle /\partial t}$
Diracin yhtälön kovariantti muoto	${\displaystyle \ (\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-imc)\psi =0}$	${\displaystyle \ (\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-im)\psi =0}$

Suuruusluokat

Vain muutamat Planckin yksiköt vastaavat suuruudeltaan joitakin arkielämästäkin tuttuja vastaavien suureiden arvoja. Tällaisia ovat:

• 1 Planckin massa on noin 22 mikrogrammaa
• 1 Planckin liikemäärä on noin 6,5 kg m/s
• 1 Planckin energia on noin miljardi joulea tai 500 kilowattituntia.

Lisäksi Planckin varaus on noin 11 kertaa alkeisvarauksen suuruinen (tarkemmin 11,707 alkeis­varausta, mikä luku on sama kuin atomi­fysiikassa tärkeän hienorakennevakion neliö­juuren käänteisluku.)

Suurin osa Planckin yksiköistä kuitenkin on useita suuruusluokkia liian suuria tai liian pieniä mihinkään käytännön tarkoituksiin, minkä vuoksi Planckin järjestelmä soveltuu käytettäväksi ainoastaan teoreettisessa fysiikassa. Itse asiassa monien suureiden Planckin yksiköt vastaavat kyseisen suureen pienintä tai suurinta mahdollista tai nykyisen fysiikan mukaan mielekästä määrää. Esimerkiksi:

• Nopeuden Planckin yksikkö on valonnopeus, joka suhteellisuusteorian mukaan on suurin mahdollinen signaalinopeus ^[4]
• Nykyiset kosmologiset teoriat voivat kuvata vain sitä, mikä tapahtui Planckin epookin jälkeen, jolloin maailmankaikkeus oli yhden Planckin ajan ikäinen ja läpi­mitaltaan Planckin pituuden kokoinen ja sen lämpötila oli Planckin lämpötila. Sen tutkiminen, mitä tätä ennen tapahtui, edellyttäisi kvanttigravitaatiota koskevaa teoriaa, joka yhdistäisi kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuus­teorian, mutta sellaista teoriaa ei vielä ole.
• Planckin lämpötilassa kaikki fysiikan tuntemat symmetriat rikkoutuisivat ja kaikki perus­vuoro­vaikutukset yhdistyisivät yhdeksi voimaksi.

Nykyisen maailman­kaikkeuden koko Planckin yksiköissä on erittäin suuri, kuten seuraava taulukko osoittaa:

Nykyinen maailmankaikkeus Planckin yksiköissä.

Ominaisuus	Likimääräinen lukuarvo Planckin yksiköissä	SI-yksiköissä
Ikä	8,0 · 1060 tP	4,3 · 1017 s
Näkyvän maailmankaikkeuden läpimitta	5.4 · 1061 lP	8.7 · 1026 m
Näkyvän maailmankaikkeuden massa	noin 1060 mP	3 · 1052 kg (vain tähdet luettuina) (1080 protonia, mitä joskus sanotaan Eddingtonin luvuksi)
Kosmisen taustasäteilyn lämpötila	1,9 · 10−32 TP	2,725 K

Se seikka, että näistä luvuista monet ovat lähellä samaa suuruusluokkaa 10⁶⁰, on mahdollisesti pelkkä yhteen­sattuma mutta on myös antanut muutamille teoreetikoille kuten Paul Diracille ja Arthur Stanley Eddingtonille aiheen kehitellä vaihto­ehtoisia fysikaalisia teorioita. Tällaiset teoriat tunnetaan Diracin suurten lukujen hypoteesin nimellä, mutta valtaosa fyysikoita on hylännyt ne nimittäen niitä vähättelevästi numerologiaksi.