Sigma-algebra

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä

Olkoon ${\displaystyle \Omega }$ mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla ${\displaystyle \Omega }$ on sen osajoukkojen joukkoperhe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, joka toteuttaa ehdot:

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$
2. jos ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, niin ${\displaystyle A}$:n komplementtijoukko ${\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {F}}}$
3. jos ${\displaystyle A_{k}\in {\mathcal {F}}}$ kaikilla ${\displaystyle k\in K}$, missä ${\displaystyle K}$ on numeroituva joukko, niin ${\displaystyle \bigcup _{k\in K}A_{k}\in {\mathcal {F}}}$.

Sigma-algebran ominaisuuksia

Sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ominaisuuksia:

• perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
• Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ja ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$, niin esimerkiksi ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {F}}}$ ja ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {F}}}$
• jos ${\displaystyle A_{k}\in {\mathcal {F}}}$ kaikilla ${\displaystyle k\in K}$, missä ${\displaystyle K}$ on numeroituva, niin ${\displaystyle \bigcap _{k\in K}A_{k}\in {\mathcal {F}}}$
• sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä

Triviaali sigma-algebra on joukko ${\displaystyle \{\varnothing ,\Omega \}}$. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ali-sigma-algebra on joukkoperhe ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}}$, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ mielivaltainen joukkoperhe joukon ${\displaystyle \Omega }$ osajoukkoja. Joukkoperheen ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})}$, on suppein sigma-algebra, jolla ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \sigma ({\mathcal {B}})}$.

Olkoon ${\displaystyle f}$ kuvaus ${\displaystyle \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$. Kuvauksen ${\displaystyle f}$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään ${\displaystyle \sigma (f)}$, on suppein sigma-algebra, jonka suhteen ${\displaystyle f}$ on mitallinen. ${\displaystyle \sigma (f_{1},f_{2})}$ on suppein sigma-algebra, jonka suhteen ${\displaystyle f_{1}}$ ja ${\displaystyle f_{2}}$ ovat mitallisia.

Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sigma-algebra ja ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ sen alisigma-algebra jokaisella ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Jos ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1}}$ jokaisella ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, niin ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7

Aiheesta muualla

• MathWorld. Sigma-Algebra