Tulon derivoimissääntö

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot ${\displaystyle f\,\!}$ ja ${\displaystyle g\,\!}$ derivoituvia pisteessä ${\displaystyle x\,\!}$ . Tällöin funktio ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\,\!}$ on derivoituva ja

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!}$ .

Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}$ .

Todistus

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

${\displaystyle f'\left(a\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}}$ .'

Olkoon funktio ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)\,\!}$ derivoituva, ja todistetaan että

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{h(x+\Delta x)-h(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (1)}$

Ilmaistaan yhtälö ${\displaystyle \qquad (1)}$ funktioiden ${\displaystyle f\,\!}$ ja ${\displaystyle g\,\!}$ avulla

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}.\qquad \qquad (2)}$

Lisätään ja vähennetään termi ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)\,\!}$ yhtälöön ${\displaystyle \qquad (2)}$ ja järjestetään termit uudelleen:

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x) \over \Delta x}}$

${\displaystyle =\left(\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}\right)\left(\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)\right)+f(x)\left(\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}\right).\qquad \qquad (3)}$

Derivaatan määritelmän perusteella

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x) \over \Delta x}}$

ja

${\displaystyle g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{g(x+\Delta x)-g(x) \over \Delta x}}$ .

Sen lisäksi nyt pätee

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$ ,

jolloin yhtälöstä ${\displaystyle \qquad (3)}$ saadaan

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,\!}$ .

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Derivoidaan ƒ(x) = x² sin(x). Koska x²:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x).

Yleistyksiä

Useamman kuin kahden funktion tulo

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

${\displaystyle (u\cdot v\cdot w)'=u'\cdot v\cdot w+u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'}$

Korkeamman asteen derivaatat

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Katso myös binomilause and binomikerroin.