Courbe kappa

En géométrie, la courbe kappa ou courbe de Gutschoven est une courbe algébrique de dimension deux qui ressemble à la lettre grecque ϰ (kappa). La courbe kappa a été étudiée pour la première fois par Gérard van Gutschoven vers 1662. Dans l'histoire des mathématiques, elle représente l'un des premiers exemples de l'application par Isaac Barrow de méthodes rudimentaires de calcul différentiel pour déterminer la tangente d'une courbe. Isaac Newton et Johann Bernoulli ont ensuite approfondi l'étude de cette courbe.

La courbe kappa a deux asymptotes verticales

En utilisant un système de coordonnées cartésiennes, la courbe kappa a pour équation

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=a^{2}y^{2}}$

ou, en utilisant une représentation paramétrique,

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\sin t,\\y=a\sin t\tan t.\end{cases}}}$

En coordonnées polaires, l'équation de la courbe kappa est encore plus simple :

${\displaystyle r=a\tan \theta .}$

Elle a deux asymptotes verticales d'équations x = ±a, représentées par les lignes pointillées bleues dans la figure ci-contre.

La courbure de la courbe kappa est, en polaires :

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {8\left(3-\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{4}\theta }{a\left(\sin ^{2}(2\theta )+4\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

L'angle tangentiel est :

${\displaystyle \phi (\theta )=-\arctan \left({\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )\right).}$

Détermination des tangentes à l'aide des infinitésimaux

Les tangentes à la courbe kappa peuvent également être déterminées de façon géométrique en utilisant les différentielles et les règles élémentaires de l'arithmétique infinitésimale. On considère x et y comme des variables, tandis que a est une constante. Par définition de la courbe kappa,

${\displaystyle x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}=0.}$

Maintenant, une variation infinitésimale de la position doit changer la valeur du membre de gauche, donc

${\displaystyle \mathrm {d} \left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-a^{2}y^{2}\right)=0.}$

Par linéarité de la différentielle et par la règle de Leibniz, on obtient successivement :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \left(x^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)-\mathrm {d} \left(a^{2}y^{2}\right)&=0\;;\\[6px](2x\,\mathrm {d} x)\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}(2x\,\mathrm {d} x+2y\,\mathrm {d} y)-a^{2}2y\,\mathrm {d} y&=0\;;\\[6px]\left(4x^{3}+2xy^{2}\right)\mathrm {d} x+\left(2yx^{2}-2a^{2}y\right)\mathrm {d} y&=0\;;\\[6px]x\left(2x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {d} x+y\left(x^{2}-a^{2}\right)\mathrm {d} y&=0\;;\\[6px]{\frac {x\left(2x^{2}+y^{2}\right)}{y\left(a^{2}-x^{2}\right)}}&={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.\end{aligned}}}$

Détermination des tangentes par dérivation

De façon plus moderne, sur une portion de la courbe où l'on peut exprimer y comme fonction de x, ce qui donne lieu à une relation fonctionnelle y(x), on peut procéder à une différenciation implicite et calculer la pente d'une tangente à la courbe kappa en un point (x,y) de la façon suivante :

${\displaystyle {\begin{aligned}2x\left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2}\left(2x+2y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)&=2a^{2}y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\;;\\[6px]2x^{3}+2xy^{2}+2x^{3}&=2a^{2}y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2x^{2}y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\;;\\[6px]4x^{3}+2xy^{2}&=\left(2a^{2}y-2x^{2}y\right){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\;;\\[6px]{\frac {2x^{3}+xy^{2}}{a^{2}y-x^{2}y}}&={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.\end{aligned}}}$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kappa curve » (voir la liste des auteurs).
• J. Dennis Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves, New York, Dover, 1972 (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne ), p. 139-141

Liens externes

• Robert Ferréol, « Kappa », sur Math Curve (consulté le 19 septembre 2023)
• (en) Eric W. Weisstein, « Kappa Curve », sur MathWorld
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Kappa Curve », sur MacTutor, université de St Andrews.

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