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En mathématiques, une fonction C∞ à support compact (également appelée fonction test) est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact.
Ces fonctions sont au cœur de la théorie des distributions, puisque ces dernières sont construites comme éléments du dual topologique de l'espace des fonctions tests.
Les fonctions C∞ à support compact sont également utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C∞.
Si Ω est un ouvert non vide de ℝn, l'espace des fonctions C∞ à support compact de Ω dans ℝ est noté C∞
c(Ω), C∞
0(Ω) ou 𝒟(Ω).
La fonction d'une variable définie par
est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne e–y2 qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables y2 = 1/(1 – x2) qui envoie x = ±1 sur y = ∞.
Un exemple simple de fonction C∞ à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :
Sur Ω = ℝn, la fonction
est C∞ et son support est la boule fermée B(0, 1) pour la norme ║.║ utilisée.
On munit 𝒟(Ω) de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m > 0 tel que V contienne l'ensemble suivant :
où désigne l'ensemble des fonctions de dont le support est inclus dans K, et ‖f‖∞ est la norme de f au sens de la convergence uniforme (pour f continue à support compact, c'est le maximum global de |f|).
Autrement dit, si Ω est la réunion d'une suite croissante de compacts Kn, une base de voisinages de 0 est constituée des , quand parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans ℕ*.
Muni de cette topologie, est un espace localement convexe, non métrisable[1] puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet[1] (il est même complet[2]).
Dans la convergence vers 0 d'une suite de fonctions φn se traduit par l'existence d'un compact K de Ω, contenant les supports de toutes les φn à partir d'un certain rang, et tel que φn ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur K.
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