Projet:Géométrie/Fondements de la géométrie
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Historiquement et conceptuellement, la géométrie est avant tout synthétique (que l'on nomme également géométrie pure). On tente[1] donc ici une présentation des fondements de la géométrie selon l'approche synthétique dans un premier temps. Cette approche axiomatique ne fait appel ni à la notion de dimension, de distance, de mesure, ni même à celle des nombres. Les Éléments d'Euclide constitue une première axiomatisation de la géométrie (qui deviendra « euclidienne » et dont la formulation moderne est l'axiomatique de Hilbert). La seconde est celle de la géométrie projective qui apparait aujourd'hui comme la plus fondamentale. Puis la découverte de géométries non-euclidiennes apporta de nouveaux axiomes alternatifs[2].
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Les notions de base de la géométrie sont : le point, la droite, le plan et l'espace sensible[3].
Les principales notions dérivées sont le segment (de droite[4]) puis le triangle, le parallélisme puis l'angle et l'orthogonalité, le cercle, la surface, etc.
Outre ces objets, la géométrie définit des opérations de transformation : la translation et la rotation en premier lieu. Puis la symétrie, la projection, l'isométrie, l'homothétie.
« Règles nécessaires pour les définitions:
N'admettre aucun des termes un peu obscurs ou équivoques sans définitions.
N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus ou déjà expliqués.
Règles nécessaires pour les axiomes:
Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes.
Règles nécessaires pour les démonstrations:
Prouver toutes les propositions, en n'employant à leur preuve que des axiomes très évidents d'eux mêmes, ou des propositions déjà montrées ou accordées.
N'abuser jamais de l'équivoque des termes, en manquant de substituer mentalement les définitions qui les restreignent ou les expliquent. »