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théorème de géométrie plane De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie euclidienne, le théorème de Carnot (portant le nom de Lazare Carnot) donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites perpendiculaires aux côtés (étendus) d'un triangle soient concourantes. Ce théorème peut être considéré comme une généralisation du théorème de Pythagore.
Dans un triangle , considérons trois droites perpendiculaires en , , aux côtés , , du triangle.
Ces trois droites sont concourantes si et seulement si
Si le point de concours est F, on a d'après le théorème de Pythagore : , donc ; de même, et ; la somme des trois égalités donne la relation de Carnot.
La réciproque est démontrée dans (Aassila 2018, p. 155).
Si le triangle est rectangle en , on peut prendre , et ; alors , , , , et . La relation du théorème de Carnot donne alors celle du théorème de Pythagore : .
Un autre corollaire est que les médiatrices du triangle sont concourantes. En prenant pour pieds des perpendiculaires les milieux des côtés, on a , et , de sorte que la relation de Carnot ci-dessus est vérifiée.
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