Épigraphe (mathématiques)

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. L'épigraphe de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {epi} \,f}$ et défini par

${\displaystyle \operatorname {epi} \,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)\leqslant \alpha \}.}$

Représentation d'une portion de l’épigraphe d'une fonction f(x) (en vert).

Il s'agit donc de l'ensemble des points de l'ensemble produit ${\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {R} }$ qui sont situés au-dessus du graphe de ${\displaystyle f}$ (épi venant du grec ancien et signifiant sur, au-dessus).

L'épigraphe strict de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {epi} _{s}\,f}$ et défini par

${\displaystyle \operatorname {epi} _{s}\,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)<\alpha \}.}$

Exemples d'utilisation

L'épigraphe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. En voici deux exemples.

• Si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace topologique, on démontre qu'une application ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\overline {\mathbb {R} }}}$ est semi-continue inférieurement si et seulement si son épigraphe est un fermé de l'espace topologique produit ${\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {R} }$. En analyse convexe, une telle application est dite fermée^[1].
• Si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace vectoriel réel, on dit^[2] que ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\overline {\mathbb {R} }}}$ est convexe si son épigraphe est un convexe de l'espace vectoriel produit ${\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {R} }$.