Équation de bilan de la quantité de mouvement

En mécanique des fluides, l'équation de bilan de la quantité de mouvement découle du principe fondamental de la dynamique appliqué à un fluide. Avec l'équation de conservation de la masse et l'équation de la chaleur elle fait partie des équations de Navier-Stokes^[1].

Formulation générale

De façon générale, le bilan de la quantité de mouvement s'exprime sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\partial \left(\rho {\vec {v}}\right)}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\cdot {\overline {\overline {\tau }}}+\rho {\vec {f}}}$

Dans ces équations :

• ${\displaystyle t}$ représente le temps (unité SI : s) ;
• ${\displaystyle \rho }$ désigne la masse volumique du fluide (unité SI : kg m⁻³) ;
• ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : m s⁻¹) ;
• ${\displaystyle p}$ désigne la pression (unité SI : Pa) ;
• ${\displaystyle {\overline {\overline {\tau }}}=\left(\tau _{i,j}\right)_{i,j}}$ est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI : Pa) ;
• ${\displaystyle {\vec {f}}}$ désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI : m s⁻²) ;

L'opérateur ${\displaystyle \otimes }$ désigne le produit dyadique

${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}^{\mathrm {T} }}$

avec ${\displaystyle \times }$ le produit matriciel classique.

Suivant le problème que l'on aura à traiter, des modèles simplifiés peuvent être envisagés.

Cas particuliers

Fluide parfait (équation d'Euler)

Dans le cas d'un fluide parfait (c'est-à-dire en considérant que les effets de viscosité sont négligeables), l'équation d'Euler est retrouvée.

Fluide réel incompressible newtonien

Dans ce cas la loi de comportement s'écrit : ${\displaystyle \tau _{ij}=2\mu D_{ij}}$ où ${\displaystyle \mu }$ est la viscosité dynamique et ${\displaystyle D_{ij}={\frac {1}{2}}(v_{i,j}+v_{j,i})}$ est le tenseur des vitesses de déformation. De plus la masse volumique ${\displaystyle \rho }$ est considérée comme constante.

La conservation de la quantité de mouvement s'écrit alors :

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\nu {\vec {\nabla }}^{2}v+{\vec {f}}}$

où ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ est la viscosité cinématique.

Cette équation peut s'exprimer sous la forme vectorielle :

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+{\vec {\text{rot}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {f}}-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p-\nu {\vec {\text{rot}}}({\vec {\text{rot}}}{\vec {v}})}$