Algèbre sur un corps

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique ${\textstyle (A,+,\cdot ,\times )}$ telle que :

1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
2. la loi × est K-bilinéaire.

Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x × y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

• (x + y) × z = x × z + y × z ;
• x × (y + z) = x × y + x × z ;
• (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que $${\displaystyle \forall x,y\in A,\,\forall a\in K,f(x\times y)=f(x)\times f(y){\textrm {et}}f(x+ay)=f(x)+af(y).}$$ Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

• Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
• Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
• Une algèbre unifère^[1] est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté 1.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel^[2].

Si ${\displaystyle a=(a_{k})_{k\in I}}$ est une base de A, il existe alors une unique famille ${\displaystyle (c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}}$ d'éléments du corps K tels que : $${\displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}.}$$

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que ${\displaystyle (c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}}$ sont les constantes de structure^[2] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations ${\displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}}$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A pour la base a^[2].

Exemple d'algèbre de dimension infinie

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert de ${\displaystyle {\mathbb {C}}}$. L'ensemble des fonctions analytiques dans ${\displaystyle U}$ est une ${\displaystyle {\mathbb {C}}}$-algèbre.

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

Nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes ${\textstyle (\mathbb {C} ,+,\cdot ,\times )}$ est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

	1	i
1	1 × 1 = 1	1 × i = i
i	i × 1 = i	i × i = –1

Corps finis

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (F_p = ℤ/pℤ), donc son ordre est pⁿ.

Par exemple le corps fini F₄ est une algèbre de dimension 2 sur le corps F₂ = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

	1	a
1	1 × 1 = 1	1 × a = a
a	a × 1 = a	a × a = 1 + a

Algèbres quadratiques

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative^[3]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

	1	x
1	1 × 1 = 1	1 × x = x
x	x × 1 = x	x × x = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F₄ est une F₂-algèbre quadratique de type (1, 1).

Algèbres associatives et non commutatives

Matrices carrées

L'ensemble ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,\times \right)}$ des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n².

Quaternions

L'ensemble ${\textstyle (\mathbb {H} ,+,\cdot ,\times )}$ des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

	1	i	j	k
1	1 × 1 = 1	1 × i = i	1 × j = j	1 × k = k
i	i × 1 = i	i × i = –1	i × j = k	i × k = –j
j	j × 1 = j	j × i = –k	j × j = –1	j × k = i
k	k × 1 = k	k × i = j	k × j = –i	k × k = –1

Biquaternions

L'ensemble ${\textstyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\times )}$ des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} ),+,\cdot ,\times \right)}$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions ${\textstyle (\mathbb {O} ,+,\cdot ,\times )}$ est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

Produit vectoriel

L'espace euclidien ℝ³ muni du produit vectoriel, ${\textstyle (\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\wedge )}$, est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ${\displaystyle ({\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})}$ est :

	${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}}$
${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {u}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {w}}=-{\vec {v}}}$
${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-{\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}={\vec {u}}}$
${\displaystyle {\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {u}}={\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {v}}=-{\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {w}}={\vec {0}}}$

Crochet de Lie

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : ${\displaystyle [M,N]=MN-NM}$, ${\textstyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)}$ est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n². Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

La ℝ-algèbre ${\textstyle (\mathbb {H} ,+,\cdot ,\times )}$ des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : i·(j × k) ≠ j × (i·k).

Voir aussi

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• Algèbre de Clifford
• Algèbre géométrique
• Algèbre de Lie