Anneau opposé

En algèbre, l'anneau opposé^[1] A⁰ ou A^op d'un anneau A possède le même groupe additif sous-jacent que A et sa multiplication est effectuée dans l'ordre opposé : si l'on note ${\displaystyle \cdot _{A}}$ et ${\displaystyle \cdot _{A^{\rm {op}}}}$ les multiplications respectives de A et A^op, on a

${\displaystyle a\cdot _{A^{\rm {op}}}b=b\cdot _{A}a}$.

La notion d'anneau opposé permet d'unifier l'étude des modules à gauche et des modules à droite, car les modules à droite sur un anneau sont exactement les modules à gauche sur l'anneau opposé^[2].

Propriétés

A et A^op ont même zéro et (le cas échéant) même unité. L'égalité A = A^op a lieu si et seulement si A est commutatif. En particulier, si A est un corps, A^op aussi.

Si A est un corps gauche (également appelé anneau à division) qui n'est pas commutatif, l'anneau opposé de A est lui aussi un corps gauche non commutatif. Dans ce cas, on parle parfois du « corps opposé de A » plutôt que de « l'anneau opposé de A »^[3].

Toute K-algèbre A est isomorphe à l'opposée de la K-algèbre des endomorphismes du A-module A :

${\displaystyle A\simeq \left({\rm {End}}_{A}(A)\right)^{\rm {op}}}$.

Démonstration

Pour tout ${\displaystyle a\in A}$, soit ${\displaystyle r_{a}\in {\rm {End}}_{A}(A)}$ défini par : ${\displaystyle r_{a}(x)=x\cdot _{A}a}$. L'application ${\displaystyle r_{a}}$ est une bijection de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)}$, de bijection réciproque ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$. En effet, pour tout ${\displaystyle f\in {\rm {End}}_{A}(A)}$, ${\displaystyle r_{f(1)}(x)=x\cdot _{A}f(1)=f(x)}$. C'est un isomorphisme de ${\displaystyle A^{\rm {op}}}$ dans ${\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)}$, le point essentiel étant que ${\displaystyle (r_{a}\circ r_{b})(x)=x\cdot _{A}b\cdot _{A}a=x\cdot _{A}\left(a\cdot _{A^{\rm {op}}}b\right)=r_{a\cdot _{A^{\rm {op}}}b}(x)}$. Par conséquent, ${\displaystyle A=(A^{\rm {op}})^{\rm {op}}\simeq \left({\rm {End}}_{A}(A)\right)^{\rm {op}}}$.

Voir aussi

• Antimorphisme
• Groupe opposé