Argument principal d'un nombre complexe

En mathématiques, l'argument principal d'un nombre complexe non nul z est le réel, noté en général ${\displaystyle {\text{Arg}}\ z}$, qui appartient à l'intervalle ]–π, π] et qui représente modulo 2π cet argument.

Représentation de la surface associée à la fonction ${\displaystyle (x,y)\mapsto {\text{Arg}}(x+{\text{i}}y)}$.

Il est égal à :

• π si z est un réel négatif,
• ${\displaystyle 2\arctan \left({\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\right)=\operatorname {atan2} (y,x)}$ où x et y désignent respectivement les parties réelle et imaginaire de z et atan2 une fonction implémentée dans les langages informatiques.

Cette définition engendre celle de la détermination principale du logarithme complexe de z (si z n'est pas un réel négatif), dont la partie imaginaire est l'argument principal de z.

Dans les logiciels de calcul formel, c'est l'argument principal qui est implémenté :

• en Maple, il est noté argument(z)^[1], et ${\displaystyle {\text{Arg }}(x+{\text{i}}y)}$ est obtenu par arctan(y,x)^[2] ;
• en Mathematica, il est noté Arg[z]^[3], et ${\displaystyle {\text{Arg }}(x+{\text{i}}y)}$ est obtenu par ArcTan[x,y]^[4].

Articles connexes

• Branche principale (mathématiques)
• Détermination d'une fonction multivaluée
• Atan2