Cap (mathématiques)

En mathématiques, cap est le nom utilisé pour désigner les symboles ayant la forme d'un U renversé ou d'un arc pointant vers le haut. Deux variantes du symbole sont utilisées aujourd'hui en mathématiques, ${\displaystyle \cap }$ et plus rarement ${\displaystyle \frown }$^[1].

Le symbole est notamment utilisé pour l'intersection d'ensembles et le cap-produit en homologie et cohomologie. Il est parfois également utilisé pour noter la concaténation de deux n-uplets^[2].

Histoire du symbole

Le symbole apparaît au moins dès 1844 dans les travaux de Hermann Grassmann, dans un sens assez abstrait^[3]. Il est réutilisé par Giuseppe Peano, qui l'utilise sous le nom de conjonction (congiunzione) pour noter ce qui correspond aujourd'hui à l'intersection d'ensembles^[4]. Étant donné deux ensembles A et B, les notions modernes de conjonction en logique et d'intersection d'ensemble sont en effet liées par la propriété :

${\displaystyle x\in A\cap B\iff (x\in A)\land (x\in B)}$

Typographie

Les points de code Unicode suivants permettent d'utiliser ce symbole :

• U+2229 ∩ intersection, hat ou cap
• U+22C2 ⋂ intersection à plusieurs termes (n-ary intersection)
• U+2322 ⌢ frown

Les commandes LaTeX suivantes permettent d'utiliser ce symbole :

• \cap donne ${\displaystyle \cap }$
• \bigcap donne ${\displaystyle \bigcap }$
• \frown donne ${\displaystyle \frown }$