Codage delta

Le codage delta ou codage delta d'Elias est un codage entropique inventé ^[Quand ?] par Peter Elias et utilisé essentiellement en compression de données.

Le code delta produit est un code préfixe et universel.

Principe

Comme le codage gamma, le codage delta permet de coder tous les entiers naturels, à l'exception de zéro, sans qu'il y ait besoin de connaitre au préalable l'intervalle des valeurs à coder (contrairement, par exemple, au codage binaire de taille fixe, qui ne permet de coder que des nombres inférieurs à une borne supérieure fixée à l'avance).

Pour cela, le codage delta se fait en deux étapes :

1. le codage du nombre de bits nécessaires pour représenter l'entier avec un codage gamma ;
2. le codage à proprement parler de l'entier avec un codage binaire sur ce même nombre de bits nécessaires.

La démarche est donc similaire à celle du codage gamma, la différence étant que le codage unaire de la première étape est remplacé par un codage gamma.

En pratique, le bit de poids fort de l'entier n'est pas encodé car implicite, mais, contrairement à ce qui est fait lors d'un codage gamma, c'est son nombre de bits qui est encodé au cours de la première étape (sans lui soustraire 1, car le codage gamma ne permet de coder que des entiers naturels strictement positifs).

Mathématiquement, pour coder un entier ${\displaystyle N,N\in \mathbb {N} ^{*}}$, on code d'abord ${\displaystyle \lceil \log _{2}N\rceil }$ en gamma, puis les ${\displaystyle \lfloor \log _{2}N\rfloor }$ bits de poids faible de ${\displaystyle N}$ en binaire (en perdant au passage le bit de poids fort qui est implicite).

Codage des entiers relatifs

Comme pour le codage gamma, il est possible de coder des entiers relatifs avec le codage delta en utilisant une bijection pour transformer les nombres négatifs ou nul en nombres strictement positifs avant le codage à proprement parler. Après le décodage, l'opération inverse doit être effectuée pour retrouver les entiers relatifs d'origine.

Longueur du code

La longueur ${\displaystyle L}$ du code gamma associé à un entier naturel strictement positif ${\displaystyle N}$ peut être exprimée par :

${\displaystyle L=2\times \lfloor \log _{2}{\lceil \log _{2}N\rceil }\rfloor +1+\lfloor \log _{2}N\rfloor }$

Cette longueur croît moins rapidement avec ${\displaystyle N}$ que lors d'un codage gamma. Contrairement à ce dernier, le codage delta permet d'obtenir des codes de longueur asymptotiquement optimale.

Exemples

Représentation des premiers entiers naturels strictement positifs avec un codage delta

Décimal ${\displaystyle N}$	Binaire ${\displaystyle N}$	Nombre de bits ${\displaystyle G=\lceil \log _{2}N\rceil }$	Nombre de bits (${\displaystyle G}$ en codage gamma)	Binaire, privé du bit de poids fort ${\displaystyle B=N-2^{G}}$	Code delta ${\displaystyle G}$ en gamma suivi de ${\displaystyle B}$	Code gamma équivalent
1	1	1	0		0	0
2	10	2	100	0	100 0	10 0
3	11	2	100	1	100 1	10 1
4	100	3	101	00	101 00	110 00
5	101	3	101	01	101 01	110 01