Cohomologie de De Rham

En mathématiques, la cohomologie de De Rham est un outil de topologie différentielle, c'est-à-dire adapté à l'étude des variétés différentielles. Il s'agit d'une théorie cohomologique fondée sur des propriétés algébriques des espaces de formes différentielles sur la variété. Elle porte le nom du mathématicien Georges de Rham.

Le théorème de de Rham affirme que le morphisme naturel, de la cohomologie de De Rham d'une variété différentielle vers sa cohomologie singulière^[1] à coefficients réels, est bijectif^[2].

Définitions

Soit M une variété différentielle, décrivons l'algèbre différentielle graduée (en) (Ω*(M), d) de ses formes différentielles. Pour tout entier naturel p :

• ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ est l'espace des formes différentielles de degré p sur M.
• ${\displaystyle \mathrm {d} ^{p}:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)}$ est l'opérateur de différentiation extérieure sur les formes différentielles de degré p.

On note dω la dérivée extérieure de ω quand on ne veut pas préciser son degré ; il faut alors sous-entendre d^pω où p est le degré de ω.

L'étude de la cohomologie de De Rham est l'étude de la "conservation" de certaines propriétés algébriques le long de la chaîne:

${\displaystyle \Omega ^{0}(M)\ {\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\ \dots \ {\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\ \Omega ^{n-1}(M)\ {\overset {\mathrm {d} }{\longrightarrow }}\ \Omega ^{n}(M)}$

dans un certain sens expliqué plus bas.

Formes fermées, formes exactes

Lorsque ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ (i.e. ${\displaystyle \omega \in {\rm {Ker\ d}}}$), on dit que la forme différentielle ${\displaystyle \omega }$ est fermée.

Lorsqu’il existe une forme ${\displaystyle \alpha }$ telle que ${\displaystyle \omega ={\rm {d\alpha }}}$ (i.e. ${\displaystyle \omega \in \mathrm {Im\ d} }$), on dit que la forme différentielle ${\displaystyle \omega }$ est exacte.

Théorie locale (lemme de Poincaré)

On a pour tout p la relation d^p ∘ d^{p – 1} = 0, souvent abrégé en ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}$. On en déduit le :

Théorème — Toute forme différentielle exacte est fermée.

Le lemme de Poincaré permet de montrer que la réciproque est vraie localement :

Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.

Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvert U de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.

En effet, si M ⊂ ℝⁿ est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.

Théorie globale

Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan ℝ² privé de l'origine, la forme ${\displaystyle {\tfrac {x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}}$ est fermée, mais non exacte.

Dans le cas général, le p-ième groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.

Notations

Pour tout entier naturel p, on note :

• ${\displaystyle Z^{p}(M)=\mathrm {Ker\ d} ^{p}}$ l'espace des p-formes fermées.
• ${\displaystyle B^{p}(M)=\mathrm {Im\ d} ^{p-1}}$ l'espace des p-formes exactes.

Comme ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0}$, on a ${\displaystyle \mathrm {Im\ d} ^{p-1}\subseteq \mathrm {Ker\ d} ^{p}}$, donc :

${\displaystyle B^{p}(M)\subseteq Z^{p}(M)}$

l'espace des formes exactes est un sous-espace des formes fermées.

Définition : groupes de cohomologie (de De Rham)

On définit l'algèbre graduée H*(M) — la cohomologie de De Rham de M — comme l'homologie du complexe de cochaînes de De Rham associé à l'algèbre différentielle graduée (Ω*(M), d).

Sa composante de degré p est donc l'espace vectoriel quotient de Z^p(M) par B^p(M) :

${\displaystyle H^{p}(M)\ =\ Z^{p}(M)\,/\,B^{p}(M),}$

c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.

H^p(M) = 0 si p < 0 ou si p est strictement supérieur à la dimension de M.

Si M est compacte, chaque H^p(M) est de dimension finie^[3].

La dimension de H^p(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté b_p(M).

Toute application différentiable f : M → N entre deux variétés induit un morphisme d'algèbres différentielles graduées Ω(f) : Ω*(N) → Ω*(M) donc un morphisme d'algèbres graduées f* : H*(N) → H*(M). On vérifie facilement que H* est un foncteur (contravariant).

Invariance par homotopie

Si deux applications différentiables f, g : M → N sont homotopes, elles le sont différentiablement^[4]. On parvient alors à construire^[5],[6],[7] un opérateur L : Ω(N) → Ω(M) de degré –1 tel que Ω(g) – Ω(f) = d∘L + L∘d, ce qui prouve que g* = f*.

Toute application continue de M dans N est homotope à une application différentiable^[8],[9]. Elle détermine donc encore un morphisme de H*(N) dans H*(M)^[10].

Exemples

• H⁰(M) ≃ ℝ^c, où c désigne le nombre de composantes connexes de M.
• Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hⁿ(M) est de dimension 1.
  Un isomorphisme explicite est donné par l'intégration des formes différentielles

de degré maximum : une orientation de M étant donnée, l'application

${\displaystyle \omega \mapsto \int _{M}\omega }$

de ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$ dans R est nulle sur les formes exactes d'après le théorème de Stokes. Elle passe donc au quotient en une application de Hⁿ(M) dans R, et l'on démontre^[11] qu'on obtient ainsi un isomorphisme.

• Si M n'est pas orientable ou n'est pas compacte (les autres hypothèses restant les mêmes), Hⁿ(M) = 0.
• H^k(Sⁿ) = 0 pour 0 < k < n.

Théorème de Hodge-de Rham

Un élément de H^p(M) est une classe d'équivalence de formes différentielles de degré p, qui n'admet pas a priori de représentant privilégié. La situation change si M est munie d'une métrique riemannienne g. On peut alors définir un opérateur de divergence

${\displaystyle \delta _{g}^{p}:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p-1}(M).}$

Soit alors

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(M)=\{\omega \in \Omega ^{p}(M)\mid d^{p}\omega =0\ \mathrm {et} \,\delta _{g}^{p}\omega =0\}.}$

Ces formes sont dites harmoniques.

Le théorème de Hodge-de Rham^[12] assure que si M est compacte ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(M)}$ est isomorphe à H^p(M).

Exemples

• Si G est un groupe de Lie compact muni d'une métrique riemannienne bi-invariante, les formes harmoniques sont les formes différentielles bi-invariantes. En particulier, ${\displaystyle b_{p}(T^{n})={n \choose p}}$.
• Soit S une surface de Riemann compacte. La donnée de la structure complexe équivaut à celle d'une classe de métriques riemanniennes conformes, et les formes harmoniques de degré 1 ne dépendent que de la structure conforme. Ce sont les parties réelles des formes différentielles holomorphes de degré 1. Ainsi ${\displaystyle b_{1}(S)=2\gamma }$ où ${\displaystyle \gamma }$ est le genre de S.