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La croissance exponentielle d'une quantité est son augmentation au fil du temps selon une loi exponentielle. On l'observe quand la dérivée par rapport au temps de cette quantité (c'est-à-dire son taux de variation instantané) est positive et proportionnelle à la quantité elle-même. Dans la langue courante on emploie souvent, mais improprement, le terme « croissance exponentielle » pour qualifier une augmentation simplement accélérée, quand la dérivée est elle-même croissante.
Si la constante de proportionnalité est négative, alors la quantité diminue au fil du temps et on dit qu'elle subit plutôt une décroissance exponentielle. Dans le cas d'un domaine de définition discret à intervalles égaux, on parle également de croissance géométrique ou de décroissance géométrique puisque les valeurs de la fonction forment une progression géométrique.
La formule de la croissance exponentielle d'une variable x au taux de croissance r, au fur et à mesure que le temps t s'écoule par intervalles discrets (c'est-à-dire aux temps entiers 0, 1, 2, 3, ...), est la suivante :
où est la valeur de x au temps 0.
La croissance d'une colonie bactérienne est souvent utilisée pour l'illustrer. Une bactérie se divise en deux, chacune d'elles se divisant à son tour pour donner naissance à quatre, puis huit, 16, 32, et ainsi de suite. Le taux d'accroissement ne cesse d'augmenter car il est proportionnel au nombre toujours croissant de bactéries. Une croissance de ce type est observée dans des activités ou des phénomènes de la vie réelle, tels que la propagation d'une infection virale, la croissance d'une dette en raison des intérêts composés et la diffusion de vidéos virales. Dans les cas réels, la croissance exponentielle initiale ne dure souvent pas éternellement, mais finit par se ralentir en raison de limites supérieures causées par des facteurs externes et se transforme en croissance logistique.
Des termes comme "croissance exponentielle" sont parfois interprétés à tort comme "croissance rapide". En effet, quelque chose qui connaît une croissance exponentielle connaît, en fait, une croissance lente au départ[1],[2].
On exprime alors souvent la croissance sous forme d'un pourcentage : une croissance de 10 % par an signifie que la population est multipliée par 1,1 chaque année. Ainsi, pour une population initiale de 1 000 individus :
Lorsqu'un phénomène de croissance exponentielle est continu, on peut le modéliser au moyen d'une fonction exponentielle
où N(t) est le nombre d'individus au temps t, N(0) le nombre d'individus au temps 0, r le taux de croissance intrinsèque[5] (terme utilisé en dynamique des populations) et t le temps, est la fonction exponentielle classique en mathématique.
Le taux de croissance par unité de temps μ et le taux de croissance intrinsèque r sont liés par la relation[6] : 1 + μ = er. Par exemple, un phénomène dont la croissance annuelle est de 10% est modélisé
Avec une croissance exponentielle la taille de la population augmente de plus en plus vite ; on parle de ce fait parfois d'explosion exponentielle. Cela donna lieu au mythe du brahmane Sissa (3 000 ans avant notre ère).
Cette évolution théorique ne résiste donc pas à l'expérience : aucun phénomène ne peut croître indéfiniment car sa croissance est limitée par le milieu dans lequel se trouve la population. Le premier à avoir soulevé un tel problème fut le pasteur Thomas Malthus en 1798 dans son Essai sur le principe de population, bien que ses prévisions sur la croissance de la population humaine ne se soient pas réalisées.
De nos jours, on admet volontiers que le développement de micro-organismes d'une culture microbiologique peut être modélisé sous forme exponentielle pour le début du développement : le premier organisme se divise en deux organismes filles, qui se divisent ensuite chacun pour en former quatre, qui se séparent pour en former huit, et ainsi de suite. Mais les contraintes du milieu (nutriment épuisé ou volume disponible atteint) rendent préférable, par la suite, le choix d'un modèle de Verhulst (1838) qui s'exprime ainsi :
avec tout le caractère chaotique que peut présenter une telle suite logistique.
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