Décomposition de domaine

En physique mathématique et en analyse numérique, la décomposition de domaine est un procédé de résolution - généralement numérique - d'un problème reposant sur la division du domaine de calcul en autant de sous-domaines que nécessaire, avec ou sans recouvrements. Cette méthode est généralement utilisée dans les problèmes physiques faisant intervenir des échelles très différentes ou couplant des phénomènes de nature différente et en calcul numérique pour l'utilisation de machines de calcul à architecture parallèle.

Symbole de la méthode défini par Herman Schwarz.

En analyse numérique

On distingue les méthodes avec et sans recouvrement de domaines.

Méthodes avec recouvrement

Ces méthodes, basées sur les travaux de Herman Schwarz en 1869^[1] utilisent des domaines avec recouvrement.

La méthode de Schwarz est une méthode dans laquelle le recouvrement sert de lien itératif entre les deux régions ${\displaystyle \Omega _{1}}$ et ${\displaystyle \Omega _{2}}$ de ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$^[2]. Par exemple soit à résoudre :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\Delta u=0&{\text{dans}}&\Omega \\u=g&{\text{sur}}&\partial \Omega \end{array}}\right.}$

L'algorithme de Schwarz est le suivant :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rclcl}\Delta u_{1}^{m}&=&0&{\text{dans}}&\Omega _{1}\\u_{1}^{m}&=&g&{\text{sur}}&\partial \Omega _{1}\cap \partial \Omega \\u_{1}^{m}&=&u_{2}^{m-1}&{\text{sur}}&\partial \Omega _{1}\cap {\overline {\Omega }}_{2}\end{array}}\right.}$${\displaystyle \quad \quad \left\{{\begin{array}{rclcl}\Delta u_{2}^{m}&=&0&{\text{dans}}&\Omega _{2}\\u_{2}^{m}&=&g&{\text{sur}}&\partial \Omega _{2}\cap \partial \Omega \\u_{2}^{m}&=&u_{1}^{m}&{\text{sur}}&\partial \Omega _{2}\cap {\overline {\Omega }}_{1}\end{array}}\right.}$

Exemple : Laplacien en unidimensionnel

Soit à résoudre le problème de Schwarz avec ${\displaystyle g=0}$ dans le domaine ${\displaystyle \Omega =\rbrack 0,1\lbrack }$ en utilisant les sous-domaines ${\displaystyle \Omega _{1}=\rbrack 0,x_{2}\lbrack }$ et ${\displaystyle \Omega _{2}=\rbrack x_{1}<x_{2},1\lbrack }$.

Soit ${\displaystyle u^{(2)}(x_{2})}$ la valeur initiale de l'algorithme, on a

${\displaystyle u^{(1)}(x)={\frac {\alpha x}{x_{2}}}\,,\quad \forall x\in \Omega _{1}}$

La valeur sur le bord est ${\displaystyle u^{(1)}(x_{2})=\alpha }$ d'où la solution dans ${\displaystyle \Omega _{2}}$

${\displaystyle u^{(2)}(x)={\frac {\alpha x_{1}}{x_{2}}}{\frac {1-x}{1-x_{1}}}\,,\quad \forall x\in \Omega _{2}}$

Et, à la fin de l'itération

${\displaystyle u^{(2)}(x_{2})=\alpha k\,,\quad k={\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {1-x_{2}}{1-x_{1}}}=1-{\frac {x_{2}-x_{1}}{x_{2}(1-x_{1})}}}$

La méthode itérative va converger comme une série géométrique de raison ${\displaystyle 0<k<1}$. La performance se dégrade lorsque ${\displaystyle k\to 1}$, c'est-à-dire lorsque le recouvrement tend vers zéro. Pour ${\displaystyle k=1}$ il n'y a plus de convergence.

 

Cette méthode est appelée méthode de Schwarz multiplicative par opposition à la modification apportée par Pierre-Louis Lions en 1988 afin de permettre la parallélisation^[3]. Dans la dernière équation de l'algorithme on écrit ${\displaystyle u_{2}^{m}=u_{1}^{m-1}}$, ce qui conduit à la méthode appelée méthode de Schwarz additive. Ceci a cependant l'inconvénient de doubler le nombre d'opérations élémentaires.

Diverses méthodes ont été développées sur la base de la méthode de Schwarz afin d'étendre ce type d'approche à une méthode sans recouvrement^[4] et d'augmenter son efficacité algorithmique, par exemple en utilisant des conditions aux limites de Robin. Certaines de ces méthodes utilisent des conditions aux bords mixtes Dirichlet-Neumann de mise en œuvre difficile^[5].

Méthodes sans recouvrement

Dans ce type de méthode introduite par Janusz Stanisław Przemieniecki en 1963^[6] les domaines sont connexes et liés par les valeurs à leur frontière commune. Ces méthodes pour les éléments finis, les différences finies et les méthodes spectrales utilisent le complément de Schur. On distingue :

• la méthode d'équilibrage des domaines (en) (BDD, Balancing Domain Decomposition) utilisé dans le cadre des éléments finis mixtes utilisant le gradient au voisinage du bord^[7] ;
• la méthode itérative FETI (Finite Element Tearing and Interconnect), utilisant des conditions aux limites Neumann-Neumann pour imposer l'égalité des valeurs à la frontière^[8].