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Dérivée totale

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En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit une fonction à plusieurs variables et , , fonctions de . Si elle existe, la dérivée totale[1],[2],[3] par rapport à de la fonction composée s'exprime à partir de l'expression de la différentielle par :

.

Elle est notée et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée .

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Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

,
,

est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire[4], de dérivée convective[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

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Références

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