Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ une fonction à plusieurs variables et ${\displaystyle x_{1}=x_{1}(t)}$, ${\displaystyle x_{2}=x_{2}(t),\ldots ,x_{n}=x_{n}(t)}$, ${\displaystyle n}$ fonctions de ${\displaystyle t}$. Si elle existe, la dérivée totale^[1],[2],[3] par rapport à ${\displaystyle t}$ de la fonction composée ${\displaystyle f(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$ s'exprime à partir de l'expression de la différentielle ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ par :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}}$.

Elle est notée ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}$ et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$.

Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction ${\displaystyle f:\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)\mapsto f\left(t,x(t),y(t),z(t)\right)}$ dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)f}$,

où ${\displaystyle \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right)}$est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée ${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}}$, la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire^[4], de dérivée convective^[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.